Sejam beta=(1,1),(2,1) e v=(2,5). Escreva [v]beta. Em seguida, escreva (x, y) como combinação linear dos elementos de beta.

Passo 1

O enunciado dá a base beta=(1,1),(2,1) de R^2 e o vetor v=(2,5). Primeiro vamos encontrar as coordenadas de v na base beta, ou seja [v]beta. Em seguida, vamos escrever um vetor genérico (x,y) como combinação linear dos vetores de beta. O conteúdo aqui é resolver sistemas lineares para extrair coordenadas em uma base.

Passo 2

Para obter [v]beta buscamos escalares a e b tais que
a,(1,1)+b,(2,1)=(2,5)
Isto gera o sistema
a + 2b = 2, a + b = 5

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira vem
(a+2b)-(a+b)=2-5Longrightarrow b=-3
Então de a+b=5 obtemos
a=5-b=5-(-3)=8
Logo
[v]beta=(a,b)=(8,-3)

Passo 4

Para escrever um vetor genérico (x,y) na base beta fazemos o mesmo:
a,(1,1)+b,(2,1)=(x,y),
o que dá o sistema
a + 2b = x, a + b = y
De novo subtraindo a segunda da primeira,
b=x-y,
e então
a=y-b=y-(x-y)=2y - x

Resposta

[v]beta=(8,-3).
Qualquer (x,y) pode ser escrito como
(x,y)=(2y - x),(1,1);+;(x - y),(2,1)

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