Responda as seguintes questões:
i) O núcleo da matriz A \in \mathbb{R}^{3 \times 3} definido por N(A)=\left\{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{3} / A \mathbf{x}=\mathbf{0}\right\} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3} ?. Justifique.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o núcleo
N(A)=\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3\mid A\mathbf{x}=\mathbf{0}\}
de uma matriz A\in\mathbb{R}^{3\times3} é subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto de \mathbb{R}^3 é subespaço se satisfaz três propriedades: (a) não é vazio, (b) fechado sob soma e (c) fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que N(A) não é vazio. Como A é linear, aplica-se a qualquer vetor e em particular ao vetor nulo \mathbf{0}:
A\mathbf{0}=\mathbf{0}.
Logo \mathbf{0}\in N(A), o que garante que N(A)\neq\emptyset.

Passo 3

Verificamos fechamento sob adição. Sejam \mathbf{u},\mathbf{v}\in N(A). Então
A(\mathbf{u}+\mathbf{v})=A\mathbf{u}+A\mathbf{v}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0},
logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in N(A).

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e \mathbf{u}\in N(A). Então
A(\lambda\mathbf{u})=\lambda\,(A\mathbf{u})=\lambda\,\mathbf{0}=\mathbf{0},
logo \lambda\mathbf{u}\in N(A).

Resposta

Sim. N(A) satisfaz as três condições de subespaço vetorial de \mathbb{R}^3 (contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar), portanto é um subespaço de \mathbb{R}^3.

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