Responda as seguintes questões:
i) O núcleo da matriz
definido por
é subespaço vetorial de
?. Justifique.
i) O núcleo da matriz
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o núcleo
de uma matriz
é subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: um subconjunto de
é subespaço se satisfaz três propriedades: (a) não é vazio, (b) fechado sob soma e (c) fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio. Como
é linear, aplica-se a qualquer vetor e em particular ao vetor nulo
:
Logo
, o que garante que
.
Passo 3
Verificamos fechamento sob adição. Sejam
. Então
logo
.
Passo 4
Verificamos fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
. Então
logo
.
Resposta
Sim.
satisfaz as três condições de subespaço vetorial de
(contém o vetor zero, é fechado sob soma e sob multiplicação escalar), portanto é um subespaço de
.