(1,0) Questão 5. Considere o triângulo A B C com A=(1,1,1), B=(1,-1,2) e C=(2,1,-1 Determine um vetor unitário que seja ortogonal ao plano A B C.

Passo 1

O enunciado dá as coordenadas dos pontos
\,A=(1,1,1), \,B=(1,-1,2) e \,C=(2,1,-1) e pede um vetor unitário ortogonal ao plano ABC.
Para isso vamos usar duas ideias da geometria vetorial:
  1. O produto vetorial de dois vetores não colineares do plano gera um vetor perpendicular ao plano.
  2. Para tornar esse vetor unitário, dividimos pelo seu comprimento.

Passo 2

Primeiro obtemos dois vetores do plano, por exemplo
\vec{AB}=B-A=(1-1,\,-1-1,\,2-1)=(0,-2,1)
\vec{AC}=C-A=(2-1,\,1-1,\,-1-1)=(1,0,-2)

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial
\vec{n}=\vec{AB}\times\vec{AC}
Usando a regra de Sarrus,
\vec{n} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 0 & -2 & 1\\\\ 1 & 0 & -2 \end{vmatrix} =(4,\,1,\,2)
Esse \vec{n} é ortogonal ao plano ABC.

Passo 4

Calculamos a norma de \vec{n} e obtemos o vetor unitário
\|\vec{n}\|=\sqrt{4^2+1^2+2^2}=\sqrt{21}
\vec{u}=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|} =\frac{1}{\sqrt{21}}\,(4,\,1,\,2)

Resposta

\vec{u}=\frac{1}{\sqrt{21}}\,(4,\,1,\,2),
que é um vetor unitário ortogonal ao plano ABC.

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