Sejam T, S: R^3 R^3 operadores lineares tais que T(x, y, z)=(x+2 y, y+2 z, 3 z), para todos x, y, z in R, e[S circ T] can =[lll0 & 0 & 6 1 & 3 & 2 0 & 3 & 6]. O traço da matriz [S] can (ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal de [S] can ) é igual a
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5

Passo 1

O enunciado dá dois operadores lineares T,S:R^3toR^3. Sabemos a ação de T em coordenadas canônicas e a matriz de Scirc T na base canônica:
T(x,y,z)=(x+2y,;y+2z,;3z),
[Scirc T]can = 0 & 0 & 6 1 & 3 & 2 0 & 3 & 6
Queremos o traço de [S]can.

Passo 2

Escrevemos a matriz de T na base canônica. Pela definição de T,
[T]can = 1 & 2 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3
Chamemos esta matriz de B.

Passo 3

Como [Scirc T]can=[S]can,[T]can, se denotarmos [S]can por X e [Scirc T]can por A, temos
A = X,B Longrightarrow X = A,B^-1

Passo 4

Calculamos a inversa de
B= 1 & 2 & 0 0 & 1 & 2 0 & 0 & 3
Como é triangular superior, a inversa é
B^-1 = 1 & -2 & tfrac43 0 & 1 & -tfrac23 0 & 0 & tfrac13

Passo 5

Agora multiplicamos
X = A,B^-1 = 0 & 0 & 6 1 & 3 & 2 0 & 3 & 6 1 & -2 & tfrac43 0 & 1 & -tfrac23 0 & 0 & tfrac13 = 0 & 0 & 2 1 & 1 & 0 0 & 3 & 0
Este é [S]can.

Passo 6

O traço de [S]can é a soma dos elementos da diagonal principal:
tr([S]can) =0 + 1 + 0 = 1

Resposta

(A) 1

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