Exibir o núcleo, uma base para o núcleo e uma base para a imagem de cada uma das transformações. Em seguida, verifique que
dada por
Passo 1
O enunciado define a transformação linear
onde
tem dimensão
. Precisamos encontrar
- o núcleo
, - uma base de
, - uma base de
, - e verificar a fórmula de dimensão
Passo 2
Para achar
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
logo
e
.
Passo 3
Como a única solução é
, temos
O espaço trivial só tem o vetor zero, portanto uma base de
é o conjunto vazio.
Passo 4
Para encontrar
, calculamos
sobre a base canônica de
,
:
Verificamos que
é um conjunto de três vetores linearmente independentes em
, logo forma uma base de
. Como são três vetores,
.
Passo 5
Agora temos
e de fato
Resposta
Base de
Base de
Verifica-se que