Exibir o núcleo, uma base para o núcleo e uma base para a imagem de cada uma das transformações. Em seguida, verifique que
dim V=dimKer T+dimIm T
T: P2 R^3 dada por T(a x^2+b x+c)=(a+b-c, a-b, b+c)

Passo 1

O enunciado define a transformação linear
Tcolon P2toR^3, Tl(a x^2+b x+cr)=(a+b-c,;a-b,;b+c),
onde V=P2 tem dimensão dim V=3. Precisamos encontrar
  1. o núcleo ker T,
  2. uma base de ker T,
  3. uma base de ImT,
  4. e verificar a fórmula de dimensão
dim V = dimker T + dimImT

Passo 2

Para achar
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
logo e .

Passo 3

Como a única solução é (a,b,c)=(0,0,0), temos
ker T = 0
O espaço trivial só tem o vetor zero, portanto uma base de ker T é o conjunto vazio.

Passo 4

Para encontrar ImT, calculamos T sobre a base canônica de P2, x^2,x,1:
T(x^2) = (1,1,0), T(x) = (1,-1,1), T(1) = (-1,0,1)
Verificamos que l(1,1,0),,(1,-1,1),,(-1,0,1)r é um conjunto de três vetores linearmente independentes em R^3, logo forma uma base de ImT. Como são três vetores, dimImT=3.

Passo 5

Agora temos
dim V = 3, dimker T = 0, dimImT = 3,
e de fato
dim V = dimker T + dimImT longrightarrow 3 = 0 + 3

Resposta

ker T = 0.
Base de ker T: o conjunto vazio.
Base de ImT: l(1,1,0),,(1,-1,1),,(-1,0,1)r.
Verifica-se que dim V = 3 = 0 + 3 = dimker T + dimImT.

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