Por que não é possível existir uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que
i. T(2,1,1)=(-1,1,1)
ii. T(3,2,4)=(2,3,1)
iii. T(1,1,3)=(3,0,1) ?

Passo 1

Temos uma aplicação linear hipotética
T:R^3 to R^3
que deve satisfazer
;T(2,1,1)=(-1,1,1),
;T(3,2,4)=(2,3,1) e
;T(1,1,3)=(3,0,1).
Para mostrar que isso não é possível, vamos usar a propriedade de preservação de combinação linear por transformações lineares: se a v + b w = u, então a,T(v) + b,T(w) = T(u).

Passo 2

Identificamos uma relação linear entre os vetores do domínio. Chamando
v1=(2,1,1), v2=(3,2,4), v3=(1,1,3),
vemos que
v3=v2 - v1,
pois
(1,1,3) = (3,2,4) - (2,1,1)

Passo 3

Pela linearidade de T, dessa relação deve resultar
T(v3);=;T(v2 - v1);=;T(v2);-;T(v1)
Calculando o lado direito com as imagens propostas:
T(v2)-T(v1) =(2,3,1)-(-1,1,1) =(3,2,0)
Mas por hipótese T(v3)=(3,0,1). Logo
T(v2)-T(v1)=(3,2,0)neq(3,0,1)=T(v3),
o que é uma contradição.

Passo 4

Como a relação linear entre v1,v2,v3 não se conserva nas suas imagens, não pode existir transformação linear T que satisfaça simultaneamente as três condições.

Resposta

Não existe tal transformação linear porque ela deveria preservar a relação
;(1,1,3)=(3,2,4)-(2,1,1),
mas as imagens dadas não satisfazem
;T(1,1,3)=T(3,2,4)-T(2,1,1).

Exercícios relacionados