Por que não é possível existir uma transformação linear
tal que
i.
ii.
iii.
?
i.
ii.
iii.
Passo 1
Temos uma aplicação linear hipotética
que deve satisfazer
,
e
.
Para mostrar que isso não é possível, vamos usar a propriedade de preservação de combinação linear por transformações lineares: se , então
.
Para mostrar que isso não é possível, vamos usar a propriedade de preservação de combinação linear por transformações lineares: se
Passo 2
Identificamos uma relação linear entre os vetores do domínio. Chamando
vemos que
pois
Passo 3
Pela linearidade de
, dessa relação deve resultar
Calculando o lado direito com as imagens propostas:
Mas por hipótese
. Logo
o que é uma contradição.
Passo 4
Como a relação linear entre
não se conserva nas suas imagens, não pode existir transformação linear
que satisfaça simultaneamente as três condições.
Resposta
Não existe tal transformação linear porque ela deveria preservar a relação
,
mas as imagens dadas não satisfazem
.
mas as imagens dadas não satisfazem