Exibir o núcleo, uma base para o núcleo e uma base para a imagem de cada uma das transformações. Em seguida, verifique que
dim V=dimKer T+dimIm T
T: M2 times 2 R^3 dada por T(lla & b c & d)=(2 a, b+c-a, a-d)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear T: M2times2to R^3 definida por
Tl(a & b c & dr) = l(2a,;b+c - a,;a-dr)
Pede-se o núcleo de T (e uma base para ele), a imagem de T (e uma base para ela) e, por fim, verificar que
dim V = dimker T + dimIm T
O conteúdo aplicado é teoria de transformações lineares, núcleo, imagem e o Teorema da Dimensão (nullity–rank).

Passo 2

Para achar , impomos
isto é
Da primeira equação segue . Da terceira, . Substituindo em obtemos , ou seja . Logo
que é um subespaço de dimensão 1.

Passo 3

Uma base natural para ker T é obtida escolhendo b=1:
l0&1-1&0r
Logo dimker T = 1.

Passo 4

Para determinar Im T, calculamos as imagens da base canônica de M2times2:
E11=1&00&0,; E12=0&10&0,; E21=0&01&0,; E22=0&00&1
Temos
T(E11)=(2,-1,1), T(E12)=(0,1,0), T(E21)=(0,1,0), T(E22)=(0,0,-1)

Passo 5

Note que T(E12)=T(E21), então
Im T = span(2,-1,1),,(0,1,0),,(0,0,-1)
Esses três vetores são linearmente independentes em R^3, logo formam uma base e dimIm T = 3.

Passo 6

Sabemos que dim M2times2=4. Com dimker T=1 e dimIm T=3, verifica-se
4 ;=; 1 + 3,
isto é
dim V = dimker T + dimIm T,
confirmando o Teorema da Dimensão.

Resposta

Núcleo:
ker T = l0&b-b&0:bin Rr
Base do núcleo:
l0&1-1&0r
Imagem:
Im T = span(2,-1,1),,(0,1,0),,(0,0,-1)
Base da imagem:
(2,-1,1),,(0,1,0),,(0,0,-1)
Verificação da dimensão:
dim M2times2=4, dimker T=1, dimIm T=3 e 4=1+3.

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