Exibir o núcleo, uma base para o núcleo e uma base para a imagem de cada uma das transformações. Em seguida, verifique que
dada por
Passo 1
O enunciado nos dá a transformação linear
definida por
Pede-se o núcleo de
(e uma base para ele), a imagem de
(e uma base para ela) e, por fim, verificar que
O conteúdo aplicado é teoria de transformações lineares, núcleo, imagem e o Teorema da Dimensão (nullity–rank).
Passo 2
Para achar
, impomos
isto é
Da primeira equação segue
. Da terceira,
. Substituindo em
obtemos
, ou seja
. Logo
que é um subespaço de dimensão 1.
Passo 3
Uma base natural para
é obtida escolhendo
:
Logo
.
Passo 4
Para determinar
, calculamos as imagens da base canônica de
:
Temos
Passo 5
Note que
, então
Esses três vetores são linearmente independentes em
, logo formam uma base e
.
Passo 6
Sabemos que
. Com
e
, verifica-se
isto é
confirmando o Teorema da Dimensão.
Resposta
Núcleo:
Base do núcleo:
Imagem:
Base da imagem:
Verificação da dimensão:
,
,
e
.