Verifique quais dentre as funções abaixo são transformações lineares.
T: P2 R^3 dada por T(a x^2+b x+c)=(a+b-c, a-b, b+c)

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
Tcolon P2toR^3
por
Tl(a x^2+b x+cr) = (a+b-c,;a-b,;b+c)
O conteúdo é transformação linear e vamos usar as propriedades de aditividade e homogeneidade para verificar se T é linear.

Passo 2

Para verificar a aditividade, seja
p1(x)=a1x^2+b1x+c1
e
p2(x)=a2x^2+b2x+c2.
Então
T(p1+p2) = l(a1+a2+b1+b2-(c1+c2),;a1+a2-b1-b2,;b1+b2+c1+c2r)
e por outro lado
T(p1)+T(p2) = (a1+b1-c1,;a1-b1,;b1+c1) + (a2+b2-c2,;a2-b2,;b2+c2)
= l(a1+a2+b1+b2-(c1+c2),;a1+a2-b1-b2,;b1+b2+c1+c2r)
Logo
,T(p1+p2)=T(p1)+T(p2).

Passo 3

Para verificar a homogeneidade, seja kinR e p(x)=ax^2+bx+c. Então
T(k,p) = Tl((ka)x^2+(kb)x+(kc)r) = (ka+kb-kc,;ka-kb,;kb+kc)
= k,(a+b-c,;a-b,;b+c) = k,T(p)
Assim
,T(k,p)=k,T(p).

Passo 4

Como T satisfaz aditividade e homogeneidade, pelas definições T é transformação linear.

Resposta

A aplicação T é transformação linear.

Exercícios relacionados