Sejam beta=(-1,1,0),(1,1,-1),(-1,1,1), v=(2,1,3) e u=(-1,1,2). Escreva [v]beta e [u]beta. Esreva (x, y, z) como combinação linear dos elementos de beta.

Passo 1

O enunciado dá a base beta=b1,b2,b3 em R^3, em que
b1=(-1,1,0), b2=(1,1,-1), b3=(-1,1,1),
e os vetores v=(2,1,3) e u=(-1,1,2).
Precisamos encontrar as coordenadas [v]beta e [u]beta, ou seja, lambda1,lambda2,lambda3 tais que
lambda1b1+lambda2b2+lambda3b3=v e mu1b1+mu2b2+mu3b3=u
Depois expressamos um vetor genérico (x,y,z) nessa base.

Passo 2

Para
Da terceira equação vem (\lambda_{3}=3+\lambda_{2}]. Substituindo nas duas primeiras:
( ) .
( ) .
Logo .

Passo 3

Concluímos
[v]beta =-5[4pt]32[4pt]92 ]

Passo 4

Para
Da terceira equação (\mu_{3}=2+\mu_{2}]. Substituindo:
( ) .
( ) .
Logo .

Passo 5

Temos então
[u]beta =-1[4pt]0[4pt]2 ]

Passo 6

Para expressar um vetor genérico
Da terceira equação (\gamma=z+\beta]. Substituindo nas duas primeiras:
,
.
E .

Passo 7

Concluímos que
(x,y,z) =(-x-z),b1 +x+y2,b2 +x+y+2z2,b3

Resposta

[v]beta =-5[4pt]32[4pt]92, [u]beta =-1[4pt]0[4pt]2,
(x,y,z) =(-x - z),(-1,1,0) +x+y2,(1,1,-1) +x+y+2z2,(-1,1,1) ]

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