Use a Regra da Cadeia para determinar d/z dt ou d w / d t.
(a) z = x^2 y + x y^2, x = 2 + t^4, y = 1 - t^3, dz/dt = 4(2 x y + y^2) t^3 - 3(x^2 + 2 x y) t^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente usar a Regra da Cadeia para encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A função que estamos lidando é , onde e também são funções de dadas por e . Então, para resolver isso, vamos precisar conhecer a Regra da Cadeia e como aplicá-la em funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Regra da Cadeia. Ela nos ajuda a encontrar a derivada de uma função composta. Ou seja, se depende de e , que por sua vez dependem de , então a derivada de em relação a é dada por:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, derivando em relação a :
Agora, derivando em relação a :

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar as derivadas de e em relação a .
Derivando em relação a :
Derivando em relação a :

Passo 5

Agora, aplicando a Regra da Cadeia que mencionamos no Passo 2:
Substituindo as derivadas que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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