Para uma viga engastada submetida a uma carga, apresenta seção variável ao longo do comprimento, quando
no engaste a seção transversal da viga tem base
e altura de
, já no outro lado da viga (livre) em
a seção transversal tem base
e altura de
, modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa , considere o comprimento da barra de
. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x :
Sendo
.
A solução geral para a viga engastada é
Deflexão temos:
Momento fletor temos:
a) Resolva o problema considerando que a viga apresenta seção variável.
A solução geral para a viga engastada é
Passo 1
O problema é de uma viga engastada em
e livre em
, com carga distribuída
e seção transversal variável em altura
de
mantendo-se a base
.
O material tem módulo de elasticidade .
Queremos encontrar o momento fletor e a deflexão
levando em conta a variação de inércia
.
O material tem módulo de elasticidade
Queremos encontrar o momento fletor
Passo 2
A altura varia linearmente de
a
em
, logo
O momento de inércia da seção retangular é
Passo 3
O momento fletor para carga distribuída em vigas engastadas-livres obtém-se por equilíbrio estático:
Substituindo
, fica
Esse integral pode ser avaliado analiticamente (por integração por partes) ou numericamente em cada
.
Passo 4
A deflexão satisfaz a equação de quarta ordem com rigidez variável:
Introduzindo o momento interno
integramos duas vezes, impostas as condições de contorno do engaste
Em consequência,
Também se impõe
e
para determinar eventuais constantes de integração, mas a forma integral acima já garante as duas primeiras condições e as duas últimas se checam ao final.
Passo 5
Portanto, a solução geral considerando a seção variável é dada por
com
Essas integrais podem ser avaliadas numericamente (por exemplo, Simpson ou Gauss) para obter os diagramas de
e
.
Resposta
Momento fletor e deflexão, levando em conta a variação de inércia, ficam expressos pelas fórmulas integrais acima, que devem ser calculadas numericamente para cada
.