Para uma viga engastada submetida a uma carga, apresenta seção variável ao longo do comprimento, quando x=0 no engaste a seção transversal da viga tem base b=0.30 m e altura de h=0.60 m, já no outro lado da viga (livre) em x=L a seção transversal tem base b=0.30 m e altura de h=0.20 m, modele a deflexão da viga com módulo de elasticidade de 70 MPa , considere o comprimento da barra de L=10 m. A viga está sujeita a uma distribuição de carga cujo módulo varia com x :
omega(x)=omega0 sin (pi xLx)
Sendo omega0=4.6 kN / m.
A solução geral para a viga engastada é
v(x)=C1+C2 x+C32 x^2+C46 x^3+omega0 L^4E I pi^4 sin (pi xL)
Deflexão temos:
v(x)=-0.003142 x+0.001548 x^2-0.0000517 x^3+0.009993 sin (0.3141593 cdot x)(m)
Momento fletor temos:
M(x)=-1.465 cdot 10^5+1.464 cdot 10^4 x+4.660 cdot 10^4 sin (0.3141593 cdot x)(N cdot m)
a) Resolva o problema considerando que a viga apresenta seção variável.

Passo 1

O problema é de uma viga engastada em x=0 e livre em x=L=10rm;m, com carga distribuída
omega(x)=omega0sin!l(tfracpi xLr), omega0=4,6rm;kN/m,
e seção transversal variável em altura h(x) de
h(0)=0,60rm;m, h(L)=0,20rm;m,
mantendo-se a base b=0,30rm;m.
O material tem módulo de elasticidade E=70rm;MPa.
Queremos encontrar o momento fletor M(x) e a deflexão v(x) levando em conta a variação de inércia I(x).

Passo 2

A altura varia linearmente de 0,60 a 0,20 em L, logo
h(x)=h0+hL-h0L,x =0,60-l(tfrac0,60-0,2010r)x =0,60-0,04,x
O momento de inércia da seção retangular é
I(x)=b,h(x)^312 =0,3012,l(0,60-0,04xr)^3

Passo 3

O momento fletor para carga distribuída em vigas engastadas-livres obtém-se por equilíbrio estático:
M(x)=-integralx^L(xi - x),omega(xi),dxi
Substituindo omega(xi)=omega0sin!l(tfracpixiLr), fica
M(x) =-omega0integralx^L(xi-x),sin!l(tfracpixiLr),dxi
Esse integral pode ser avaliado analiticamente (por integração por partes) ou numericamente em cada x.

Passo 4

A deflexão satisfaz a equação de quarta ordem com rigidez variável:
d^2dx^2!l[E,I(x),d^2vdx^2r]=omega(x)
Introduzindo o momento interno
E,I(x),d^2vdx^2=M(x) Longrightarrow d^2vdx^2=M(x)E,I(x),
integramos duas vezes, impostas as condições de contorno do engaste
v(0)=0, v'(0)=0
Em consequência,
v(x) =integral0^x!integral0^etaM(s)E,I(s),ds,deta
Também se impõe v(L)=0 e v'(L)=0 para determinar eventuais constantes de integração, mas a forma integral acima já garante as duas primeiras condições e as duas últimas se checam ao final.

Passo 5

Portanto, a solução geral considerando a seção variável é dada por
M(x) =-omega0!integralx^L(xi - x),sin!l(tfracpixiLr),dxi,
v(x) =integral0^x!integral0^eta 1E,I(s), l[ -omega0!integrals^L(xi - s),sin!l(tfracpixiLr)dxi r] ,ds,deta,
com
I(s)=0,3012,(0,60-0,04,s)^3, E=70times10^6rm;Pa, L=10rm;m, omega0=4,6times10^3rm;N/m
Essas integrais podem ser avaliadas numericamente (por exemplo, Simpson ou Gauss) para obter os diagramas de M(x) e v(x).

Resposta

Momento fletor e deflexão, levando em conta a variação de inércia, ficam expressos pelas fórmulas integrais acima, que devem ser calculadas numericamente para cada xin[0,L].

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