Se
é um autovetor de
associado ao autovalor
então
é autovetor de
associado ao autovalor
, para qualquer
.
Passo 1
O enunciado afirma que, dado um operador linear
em um espaço vetorial e um vetor não-nulo
tal que
queremos mostrar que para todo inteiro
ou seja, que
é autovetor de
associado ao autovalor
. Vamos usar prova por indução em
.
Passo 2
Caso base (
):
Por definição , e já temos
Por definição
logo o resultado vale para
.
Passo 3
Passo indutivo: suponha que para algum
valha
Então, aplicando
em ambos os lados,
Assim, a propriedade se mantém ao passar de
para
.
Passo 4
Pela prova por indução, concluímos que para todo inteiro
vale
ou seja,
é autovetor de
associado ao autovalor
.
Resposta
O vetor
é autovetor de
com autovalor
para todo
.