Se v é um autovetor de T associado ao autovalor \alpha então v é autovetor de T^{n} associado ao autovalor \alpha^{n}, para qualquer n \geq 1.

Passo 1

O enunciado afirma que, dado um operador linear T em um espaço vetorial e um vetor não-nulo v tal que
T(v)=\alpha\,v,
queremos mostrar que para todo inteiro n\ge1
T^n(v)=\alpha^n\,v,
ou seja, que v é autovetor de T^n associado ao autovalor \alpha^n. Vamos usar prova por indução em n.

Passo 2

Caso base ( n=1):
Por definição T^1=T, e já temos
T^1(v)=T(v)=\alpha\,v
logo o resultado vale para n=1.

Passo 3

Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 valha
T^k(v)=\alpha^k\,v.
Então, aplicando T em ambos os lados,
T^{k+1}(v)=T\bigl(T^k(v)\bigr)=T\bigl(\alpha^k\,v\bigr)=\alpha^k\,T(v)=\alpha^k\bigl(\alpha\,v\bigr)=\alpha^{k+1}\,v.
Assim, a propriedade se mantém ao passar de k para k+1.

Passo 4

Pela prova por indução, concluímos que para todo inteiro n\ge1 vale
T^n(v)=\alpha^n\,v,
ou seja, v é autovetor de T^n associado ao autovalor \alpha^n.

Resposta

O vetor v é autovetor de T^n com autovalor \alpha^n para todo n\ge1.

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