Existe uma alternativa ao procedimento dado em (7). Por exemplo, o quociente (5+6 i) /(1+i) deve ser expresso na forma a+i b :
5+6 i1+i=a+i b
Logo, 5+6 i=(1+i)(a+i b). Use este resultado e a Definição 1.1.2 para determinar o quociente dado. Use este método para determinar o recíproco de 3-4 i.

Passo 1

O enunciado propõe usar a alternativa de escrever um quociente de complexos na forma a+ib, como foi feito no exemplo
3-4i
, e usar a Definição 1.1.2 (multiplicação de complexos) para resolver esse tipo de problema. A tarefa final é aplicar esse mesmo método para encontrar o recíproco de 13-4i, ou seja, determinar na forma a+ib.

Passo 2

Pela Definição 1.1.2, se z1=x+iy e z2=u+iv, então
z1,z2=(xu - yv) + i(xv + yu)
Para achar o recíproco de 3-4i, seja
13-4i=a+ib
Isso implica
1=(3-4i)(a+ib)

Passo 3

Agora expandimos o produto usando a definição: real e imaginário se combinam assim:
(3-4i)(a+ib)=(3a+4b)+i(3b-4a)
Esse resultado deve ser igual a 1+0i, então podemos igualar as partes real e imaginária:

Passo 4

Parte real: 3a+4b=1.
Parte imaginária: 3b-4a=0.
Do segundo, 3b=4a ou b=tfrac4a3. Substituindo na primeira:
3a+4l(4a3r)=1
Multiplicando ambos os lados por 3:
9a+16a=3
logo 25a=3 e a=tfrac325.

Passo 5

Com a=tfrac325, segue
b=4a3=43cdot325=425
Portanto o recíproco de 3-4i é
a+ib=325+i425

Resposta

325+i425

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