Questão 6
Resolver a equação diferencial seguinte em
:
Passo 1
O enunciado pede para resolver, em x>0, a equação diferencial de primeira ordem não linear
Aqui o conteúdo principal é reconhecer que temos uma Bernoulli e que, via mudança de variável apropriada, a equação se torna linear.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de Bernoulli:
Isso identifica P(x)= -1/x, Q(x)= x^{-1/2} e expoente n=1/2.
Passo 3
Na transformação de Bernoulli, definimos
Assim, diferenciando,
Passo 4
Substituímos y e y’ na equação original:
Como z=y^{1/2}, podemos dividir por z≠0 (a solução trivial y≡0 será destacada ao final):
Passo 5
Agora temos uma equação linear em z. O fator integrante é
Multiplicando a equação por
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em x:
Logo
Passo 7
Voltando à variável original y, lembramos que z=
. Assim:
e, elevando ao quadrado,
Além disso, existe a solução trivial y(x)≡0.
Passo 8
Portanto, a solução geral da equação em ]0,∞[ é
y(x)=x\bigl(C+\tfrac12\ln x\bigr)^2\ e y(x)≡0.
y(x)=x\bigl(C+\tfrac12\ln x\bigr)^2\ e y(x)≡0.
Resposta
y(x)=x\Bigl(C+\tfrac12\ln x\Bigr)^2, com C constante arbitrária (e também a solução trivial y≡0).