Questão 6

Resolver a equação diferencial seguinte em ] 0,+infty[ :
x y^prime-y=raizx y

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em x>0, a equação diferencial de primeira ordem não linear
x,y' - y = raizx,y
Aqui o conteúdo principal é reconhecer que temos uma Bernoulli e que, via mudança de variável apropriada, a equação se torna linear.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão de Bernoulli:
y' - 1xy = x^-1/2,y^1/2
Isso identifica P(x)= -1/x, Q(x)= x^{-1/2} e expoente n=1/2.

Passo 3

Na transformação de Bernoulli, definimos
z = y^1 - n = y^1/2
Assim, diferenciando,
z' = 12y^-1/2y' Longrightarrow y' = 2,y^1/2z' = 2,z,z'

Passo 4

Substituímos y e y’ na equação original:
2,z,z' - 1xz^2 = x^-1/2z
Como z=y^{1/2}, podemos dividir por z≠0 (a solução trivial y≡0 será destacada ao final):
2x,z' - z = raizx Longrightarrow z' - 12xz = 12x^-1/2

Passo 5

Agora temos uma equação linear em z. O fator integrante é
mu(x) = e^integral -12x,dx = x^-1/2
Multiplicando a equação por mu(x):
x^-1/2z' - 12x^-3/2z = 12x^-1 Longrightarrow ddxl(x^-1/2zr) = 12x

Passo 6

Integramos ambos os lados em x:
x^-1/2z = integral 12x,dx = 12ln x + C
Logo
z = x^1/2l(12ln x + Cr)

Passo 7

Voltando à variável original y, lembramos que z= y^1/2. Assim:
raizy = raizxl(12ln x + Cr)
e, elevando ao quadrado,
y(x) = xl(tfrac12ln x + Cr)^2
Além disso, existe a solução trivial y(x)≡0.

Passo 8

Portanto, a solução geral da equação em ]0,∞[ é
y(x)=x\bigl(C+\tfrac12\ln x\bigr)^2\ e y(x)≡0.

Resposta

y(x)=x\Bigl(C+\tfrac12\ln x\Bigr)^2, com C constante arbitrária (e também a solução trivial y≡0).

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