1. Existe exatamente uma cidade onde todos os turistas se perdem.

Passo 1

Enunciado: “Existe exatamente uma cidade onde todos os turistas se perdem.”\n
O que o problema pede: transformar essa frase em uma fórmula de lógica de predicados (ou, pelo menos, escrever uma expressão lógica que capture exatamente o significado da frase).\n
Informações dadas (explícitas na frase): existe um conjunto de “cidades” e um conjunto de “turistas”; a propriedade relevante é “um turista se perde numa cidade”.\n
Pergunta implícita a resolver: escrever uma fórmula que diga que há uma única cidade com a propriedade “todos os turistas se perdem nela”.

Passo 2

Definindo o vocabulário (ou seja, quais predicados e variáveis vamos usar). É importante fixar isso antes de escrever qualquer quantificador:
  • Variáveis: vamos usar letras c,d para denotar objetos que possam ser cidades, e t para denotar turistas.
  • Predicados:
    \mathrm{City}(x): significa “x é uma cidade”.
    \mathrm{Tourist}(x): significa “x é um turista”.
    \mathrm{Lost}(t,c): significa "o turista t se perde na cidade c".\n
    Explicação didática: cada predicado é uma função booleana que testa uma propriedade (ex.: \mathrm{City}(x) é verdadeira se x for uma cidade). A fórmula final vai combinar esses predicados com quantificadores \exists (existe) e \forall (para todo).

Passo 3

Entendendo a estrutura da frase em termos de quantificadores:
  • “Existe exatamente uma cidade …” corresponde ao quantificador de existência com unicidade: existe um e só um c que é cidade e tem a propriedade.
  • “… onde todos os turistas se perdem” corresponde a "para todo turista t, t se perde nessa cidade c".\n
    Forma inicial (sem unicidade): a primeira tentativa natural é escrever
\exists c\big(\mathrm{City}\text{(c)}\land \forall t\big(\mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,c)\big)\big)
Isso diz: "existe pelo menos uma cidade c tal que todo turista se perde em c". Observe que isto garante existência, mas ainda permite que existam várias cidades com essa propriedade — por isso falta a parte “exatamente uma”.

Passo 4

Como expressar “exatamente uma”? Existem duas maneiras equivalentes que você verá com frequência:
  1. Usando o quantificador de unicidade \exists!: escrevemos
\exists! c\; P\text{(c)}
onde P\text{(c)} é a propriedade desejada.
2) Expandindo \exists! com \exists e \forall: dizer "existe um c tal que P\text{(c)} e qualquer outro d que satisfaça P é igual a c". Formalmente,
\exists c\big(P\text{(c)}\land \forall d(P(d)\rightarrow d=c)\big).
Explicação didática: a segunda forma é útil porque não supõe símbolo especial; ela traduz literalmente “existe um e só um”.

Passo 5

Aplicando a tradução ao nosso P\text{(c)} que é “é cidade e todos os turistas se perdem nela”. Substituindo P\text{(c)} em 2) obtemos a fórmula completa:
\exists c\Big(\mathrm{City}\text{(c)}\land \forall t\big(\mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,c)\big)\land \forall d\big((\mathrm{City}(d)\land \forall t(\mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,d)))\rightarrow d=c\big)\Big)
Leitura passo a passo desta fórmula:
  • \exists c — existe um objeto c;
  • \mathrm{City}\text{(c)} — esse objeto é uma cidade;
  • \forall t(\mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,c)) — todo turista t se perde em c;
  • \forall d((\mathrm{City}(d)\land \forall t(\mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,d)))\rightarrow d=c) — e se qualquer outro d também for uma cidade onde todo turista se perde, então esse d deve ser igual a c. Isso garante unicidade.

Passo 6

Versão alternativa curta usando o símbolo de unicidade (mais concisa, mas exige que seu curso/ou professor permita \exists!):
\exists!\, c\Big(\mathrm{City}\text{(c)}\land \forall t\big(\mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,c)\big)\Big)
Explicação didática: essa notação é apenas um atalho. Sempre que você usar \exists! em uma prova, saiba que pode expandi-la como fizemos no Passo 5 para argumentos formais.

Passo 7

Erros comuns (para você não tropeçar na prova):
  • Trocar a ordem dos quantificadores de forma errada; por exemplo, escrever \forall t\exists c mudaria totalmente o sentido (isso diria que para cada turista pode haver uma cidade onde ele se perde, possivelmente cidades diferentes).
  • Esquecer de exigir que c e d sejam cidades (a menos que o domínio já seja só cidades). Por isso incluímos \mathrm{City}(\cdot) nas fórmulas.
  • Esquecer a implicação \mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,c) e usar \mathrm{Lost}(t,c) direto; sem a implicação você estaria afirmando que todos os objetos do domínio (inclusive não turistas) se perdem.

Resposta

\exists c\Big(\mathrm{City}\text{(c)}\land \forall t\big(\mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,c)\big)\land \forall d\big((\mathrm{City}(d)\land \forall t(\mathrm{Tourist}(t)\rightarrow \mathrm{Lost}(t,d)))\rightarrow d=c\big)\Big)

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