- Existe exatamente uma cidade onde todos os turistas se perdem.
Passo 1
Enunciado: “Existe exatamente uma cidade onde todos os turistas se perdem.”\n
O que o problema pede: transformar essa frase em uma fórmula de lógica de predicados (ou, pelo menos, escrever uma expressão lógica que capture exatamente o significado da frase).\n
Informações dadas (explícitas na frase): existe um conjunto de “cidades” e um conjunto de “turistas”; a propriedade relevante é “um turista se perde numa cidade”.\n
Pergunta implícita a resolver: escrever uma fórmula que diga que há uma única cidade com a propriedade “todos os turistas se perdem nela”.
O que o problema pede: transformar essa frase em uma fórmula de lógica de predicados (ou, pelo menos, escrever uma expressão lógica que capture exatamente o significado da frase).\n
Informações dadas (explícitas na frase): existe um conjunto de “cidades” e um conjunto de “turistas”; a propriedade relevante é “um turista se perde numa cidade”.\n
Pergunta implícita a resolver: escrever uma fórmula que diga que há uma única cidade com a propriedade “todos os turistas se perdem nela”.
Passo 2
Definindo o vocabulário (ou seja, quais predicados e variáveis vamos usar). É importante fixar isso antes de escrever qualquer quantificador:
- Variáveis: vamos usar letras
para denotar objetos que possam ser cidades, e para denotar turistas. - Predicados:
: significa “x é uma cidade”.
: significa “x é um turista”.
: significa "o turista se perde na cidade ".\n
Explicação didática: cada predicado é uma função booleana que testa uma propriedade (ex.:é verdadeira se for uma cidade). A fórmula final vai combinar esses predicados com quantificadores (existe) e (para todo).
Passo 3
Entendendo a estrutura da frase em termos de quantificadores:
- “Existe exatamente uma cidade …” corresponde ao quantificador de existência com unicidade: existe um e só um
que é cidade e tem a propriedade. - “… onde todos os turistas se perdem” corresponde a "para todo turista
, se perde nessa cidade ".\n
Forma inicial (sem unicidade): a primeira tentativa natural é escrever
Isso diz: "existe pelo menos uma cidade
tal que todo turista se perde em
". Observe que isto garante existência, mas ainda permite que existam várias cidades com essa propriedade — por isso falta a parte “exatamente uma”.
Passo 4
Como expressar “exatamente uma”? Existem duas maneiras equivalentes que você verá com frequência:
- Usando o quantificador de unicidade
: escrevemos
onde
é a propriedade desejada.
2) Expandindo com
e
: dizer "existe um
tal que
e qualquer outro
que satisfaça
é igual a
". Formalmente,
2) Expandindo
Explicação didática: a segunda forma é útil porque não supõe símbolo especial; ela traduz literalmente “existe um e só um”.
Passo 5
Aplicando a tradução ao nosso
que é “é cidade e todos os turistas se perdem nela”. Substituindo
em 2) obtemos a fórmula completa:
Leitura passo a passo desta fórmula:
-
— existe um objeto ; -
— esse objeto é uma cidade; -
— todo turista se perde em ; -
— e se qualquer outro também for uma cidade onde todo turista se perde, então esse deve ser igual a . Isso garante unicidade.
Passo 6
Versão alternativa curta usando o símbolo de unicidade (mais concisa, mas exige que seu curso/ou professor permita
):
Explicação didática: essa notação é apenas um atalho. Sempre que você usar
em uma prova, saiba que pode expandi-la como fizemos no Passo 5 para argumentos formais.
Passo 7
Erros comuns (para você não tropeçar na prova):
- Trocar a ordem dos quantificadores de forma errada; por exemplo, escrever
mudaria totalmente o sentido (isso diria que para cada turista pode haver uma cidade onde ele se perde, possivelmente cidades diferentes). - Esquecer de exigir que
e sejam cidades (a menos que o domínio já seja só cidades). Por isso incluímos nas fórmulas. - Esquecer a implicação
e usar direto; sem a implicação você estaria afirmando que todos os objetos do domínio (inclusive não turistas) se perdem.