1. Todo aluno que participa do clube de robótica tem pelo menos um projeto ativo.

Passo 1

O enunciado é a frase: “Todo aluno que participa do clube de robótica tem pelo menos um projeto ativo.”\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • Há indivíduos chamados “alunos”.
  • Alguns desses alunos “participam do clube de robótica”.
  • Existem “projetos” e alguns desses projetos são “ativos”.
  • A frase afirma uma relação universal: para cada aluno que participa do clube, existe ao menos um projeto ativo associado a esse aluno (ele “tem” ou “participa” de um projeto ativo).\n
    O que devemos obter ao final: uma tradução formal (em lógica de predicados) dessa frase — ou seja, uma fórmula que capture exatamente essa afirmação.

Passo 2

Escolhendo o universo e os predicados (sempre é a primeira coisa a fazer em tradução):
  • Universo (domínio): todos os indivíduos relevantes (pessoas e projetos). Podemos usar um único domínio que contém tanto pessoas quanto projetos, ou usar dois domínios separados; aqui vamos usar um domínio único para simplificar.
  • Definições dos predicados (vamos escolher nomes claros):
    • Aluno(x): “x é um aluno”.
    • ParticipaClubeRob(x): “x participa do clube de robótica”.
    • Projeto(y): “y é um projeto”.
    • Ativo(y): “y é um projeto ativo”.
    • Possui(x,y): “x tem/está associado ao projeto y” (ou “x participa do projeto y”).
      Explicação curta: definir predicados evita ambiguidade; cada predicado é uma propriedade ou relação que pode ser verdadeira ou falsa sobre elementos do domínio.

Passo 3

Estrutura lógica da frase em linguagem natural e sua tradução geral:
  • “Todo aluno que participa do clube de robótica …” indica um quantificador universal sobre indivíduos que satisfazem duas propriedades: ser aluno e participar do clube. Em lógica isso vira \forall x (Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x) \rightarrow \dots).
  • “… tem pelo menos um projeto ativo.” indica existência de algum projeto ativo associado ao aluno. Em lógica existe um quantificador existencial: \exists y (Projeto(y)\wedge Ativo(y)\wedge Possui(x,y)).
    Juntando as duas partes, a tradução natural é:
\forall x\,(Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x)\rightarrow \exists y\,(Projeto(y)\wedge Ativo(y)\wedge Possui(x,y))).
Essa é a fórmula completa: para todo x, se x é aluno e participa do clube, então existe um y que é projeto, é ativo, e x possui esse y.

Passo 4

Explicando cada símbolo e por que a fórmula está correta (passo-a-passo didático):
  • \forall x significa “para todo indivíduo x do domínio”.
  • Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x) é a condição (antecedente) que caracteriza “aluno que participa do clube de robótica”.
  • O símbolo \rightarrow é a implicação lógica “se … então …”. Lembre: uma implicação \varphi\rightarrow\psi é falsa somente quando \varphi é verdadeira e \psi é falsa; nos demais casos é verdadeira. Isso casa com o sentido de “todo aluno que participa tem…” — não exige nada sobre quem não participa.
  • \exists y significa "existe pelo menos um indivíduo y".
  • Projeto(y)\wedge Ativo(y)\wedge Possui(x,y) garante que esse y é um projeto, é ativo, e está associado ao x (ou seja, é um projeto do aluno).
    Portanto a fórmula diz exatamente: "para cada x, se x é aluno e participa do clube, então existe um y que é projeto ativo associado a x".

Passo 5

Como construir a negação da sentença (muito útil em provas e para testar entendimento):
  • Regra prática: \neg \forall x\,\Phi(x) é equivalente a \exists x\,\neg \Phi(x).
  • E \neg \exists y\,\Psi(y) é equivalente a \forall y\,\neg \Psi(y).
  • Também \neg (A\rightarrow B) é equivalente a A\wedge \neg B.
    Aplicando as regras à nossa fórmula:
    Começamos com
\forall x\,(Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x)\rightarrow \exists y\,(Projeto(y)\wedge Ativo(y)\wedge Possui(x,y))).
Negando-a obtemos
\exists x\,\neg\big(Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x)\rightarrow \exists y\,(Projeto(y)\wedge Ativo(y)\wedge Possui(x,y))\big).
Usando \neg(A\rightarrow B)\equiv A\wedge \neg B vira
\exists x\,(Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x)\wedge \neg\exists y\,(Projeto(y)\wedge Ativo(y)\wedge Possui(x,y))).
E finalmente \neg\exists y\,\Theta(y)\equiv \forall y\,\neg\Theta(y):
\exists x\,(Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x)\wedge \forall y\,\neg(Projeto(y)\wedge Ativo(y)\wedge Possui(x,y))).
Interpretação em linguagem natural da negação: “Existe pelo menos um aluno que participa do clube de robótica e que não tem nenhum projeto ativo” — exatamente o oposto da afirmativa original.

Passo 6

Exemplo concreto para fixar (pequeno cenário):
  • Domínio reduzido: pessoas \{a,b\}, projetos \{p\}.
  • Suponha: Aluno(a) verdadeiro, ParticipaClubeRob(a) verdadeiro, Projeto(p) verdadeiro, Ativo(p) verdadeiro, e Possui(a,p) verdadeiro. Para b, não participa.
    Então a fórmula é satisfeita porque para x=a (o único que é aluno e participa) existe y=p com as propriedades pedidas. Se, porém, Possui(a,p) fosse falso (ou não existisse projeto ativo ligado a a), então a fórmula seria falsa e sua negação seria verdadeira — isso ajuda a visualizar a diferença entre afirmar “todo participante tem pelo menos um projeto ativo” e a existência de um contraexemplo.

Passo 7

Erros comuns que você deve evitar na hora da prova:
  • Esquecer de exigir que y seja projeto ou que seja ativo; escrever só \exists y\,Possui(x,y) pode permitir que y seja qualquer coisa do domínio.
  • Colocar quantificadores na ordem errada que muda sentido: \exists y\,\forall x daria “existe um projeto ativo que todos os alunos participantes têm”, que não é o que a frase diz.
  • Trocar a implicação por conjunção: \forall x\,(Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x)\wedge \exists y\,...) é sintaticamente inválido (o escopo do \exists deve estar ligado por implicação) e não captura o “para todo”, cuidado com parênteses e escopo.

Passo 8

Dica rápida para decorar o padrão (útil em prova):
  • Frases do tipo “Todo X que é Y tem pelo menos um Z” geralmente viram
\forall x\,(X(x)\wedge Y(x)\rightarrow \exists z\,ZRel(x,z))
onde ZRel(x,z) descreve a relação entre x e o z exigido. Aqui X=Aluno, Y=ParticipaClubeRob, ZRel = “é um projeto ativo que x possui”.

Resposta

\forall x\,(Aluno(x)\wedge ParticipaClubeRob(x)\rightarrow \exists y\,(Projeto(y)\wedge Ativo(y)\wedge Possui(x,y))).

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