- Todo aluno que participa do clube de robótica tem pelo menos um projeto ativo.
Passo 1
O enunciado é a frase: “Todo aluno que participa do clube de robótica tem pelo menos um projeto ativo.”\n
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- Há indivíduos chamados “alunos”.
- Alguns desses alunos “participam do clube de robótica”.
- Existem “projetos” e alguns desses projetos são “ativos”.
- A frase afirma uma relação universal: para cada aluno que participa do clube, existe ao menos um projeto ativo associado a esse aluno (ele “tem” ou “participa” de um projeto ativo).\n
O que devemos obter ao final: uma tradução formal (em lógica de predicados) dessa frase — ou seja, uma fórmula que capture exatamente essa afirmação.
Passo 2
Escolhendo o universo e os predicados (sempre é a primeira coisa a fazer em tradução):
- Universo (domínio): todos os indivíduos relevantes (pessoas e projetos). Podemos usar um único domínio que contém tanto pessoas quanto projetos, ou usar dois domínios separados; aqui vamos usar um domínio único para simplificar.
- Definições dos predicados (vamos escolher nomes claros):
-
: “x é um aluno”. -
: “x participa do clube de robótica”. -
: “y é um projeto”. -
: “y é um projeto ativo”. -
: “x tem/está associado ao projeto y” (ou “x participa do projeto y”).
Explicação curta: definir predicados evita ambiguidade; cada predicado é uma propriedade ou relação que pode ser verdadeira ou falsa sobre elementos do domínio.
-
Passo 3
Estrutura lógica da frase em linguagem natural e sua tradução geral:
- “Todo aluno que participa do clube de robótica …” indica um quantificador universal sobre indivíduos que satisfazem duas propriedades: ser aluno e participar do clube. Em lógica isso vira
. - “… tem pelo menos um projeto ativo.” indica existência de algum projeto ativo associado ao aluno. Em lógica existe um quantificador existencial:
.
Juntando as duas partes, a tradução natural é:
Essa é a fórmula completa: para todo
, se
é aluno e participa do clube, então existe um
que é projeto, é ativo, e
possui esse
.
Passo 4
Explicando cada símbolo e por que a fórmula está correta (passo-a-passo didático):
-
significa “para todo indivíduo do domínio”. -
é a condição (antecedente) que caracteriza “aluno que participa do clube de robótica”. - O símbolo
é a implicação lógica “se … então …”. Lembre: uma implicação é falsa somente quando é verdadeira e é falsa; nos demais casos é verdadeira. Isso casa com o sentido de “todo aluno que participa tem…” — não exige nada sobre quem não participa. -
significa "existe pelo menos um indivíduo ". -
garante que esse é um projeto, é ativo, e está associado ao (ou seja, é um projeto do aluno).
Portanto a fórmula diz exatamente: "para cada, se é aluno e participa do clube, então existe um que é projeto ativo associado a ".
Passo 5
Como construir a negação da sentença (muito útil em provas e para testar entendimento):
- Regra prática:
é equivalente a . - E
é equivalente a . - Também
é equivalente a .
Aplicando as regras à nossa fórmula:
Começamos com
Negando-a obtemos
Usando
vira
E finalmente
:
Interpretação em linguagem natural da negação: “Existe pelo menos um aluno que participa do clube de robótica e que não tem nenhum projeto ativo” — exatamente o oposto da afirmativa original.
Passo 6
Exemplo concreto para fixar (pequeno cenário):
- Domínio reduzido: pessoas
, projetos . - Suponha:
verdadeiro, verdadeiro, verdadeiro, verdadeiro, e verdadeiro. Para , não participa.
Então a fórmula é satisfeita porque para(o único que é aluno e participa) existe com as propriedades pedidas. Se, porém, fosse falso (ou não existisse projeto ativo ligado a ), então a fórmula seria falsa e sua negação seria verdadeira — isso ajuda a visualizar a diferença entre afirmar “todo participante tem pelo menos um projeto ativo” e a existência de um contraexemplo.
Passo 7
Erros comuns que você deve evitar na hora da prova:
- Esquecer de exigir que
seja projeto ou que seja ativo; escrever só pode permitir que seja qualquer coisa do domínio. - Colocar quantificadores na ordem errada que muda sentido:
daria “existe um projeto ativo que todos os alunos participantes têm”, que não é o que a frase diz. - Trocar a implicação por conjunção:
é sintaticamente inválido (o escopo do deve estar ligado por implicação) e não captura o “para todo”, cuidado com parênteses e escopo.
Passo 8
Dica rápida para decorar o padrão (útil em prova):
- Frases do tipo “Todo X que é Y tem pelo menos um Z” geralmente viram
onde
descreve a relação entre
e o
exigido. Aqui
,
,
= “é um projeto ativo que
possui”.