1. Há pelo menos um animal que não é domesticado e não vive na floresta.

Passo 1

Enunciado: “Há pelo menos um animal que não é domesticado e não vive na floresta.”
O que o problema pede: representar essa frase de maneira formal (usando quantificadores e predicados) e entender com nitidez o que cada parte significa.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar: existe a noção de “animal”, a noção de “ser domesticado” e a noção de “viver na floresta”. Não há outras restrições dadas (por exemplo, não foi dito qual é o universo de discurso).

Passo 2

Definimos símbolos (escolha natural e clara de predicados):
Animal(x)
significa “x é um animal”;
Domesticado(x)
significa “x é domesticado”;
ViveNaFloresta(x)
significa “x vive na floresta”.
Variável: \,x representa um indivíduo do universo de discurso (que pode ser “todos os objetos” ou pode ser “apenas animais” — vou mostrar as duas opções).

Passo 3

Entendendo o quantificador existencial: \exists x\,\varphi(x) lê-se "existe pelo menos um x tal que \varphi(x)". É o quantificador que usamos para expressar frases do tipo “há pelo menos um …”. Exemplo simples: “Há pelo menos uma pessoa alta” seria formalizado como \exists x\,Pessoa(x)\land Alta(x) se o universo for geral.

Passo 4

Entendendo conjunção e negação internas: quando o enunciado diz “não é domesticado e não vive na floresta” isso é uma conjunção de duas negações aplicadas a predicados distintos. Em lógica usamos \land para “e” e \lnot para “não”. Então a condição “não é domesticado e não vive na floresta” vira \lnot Domesticado(x)\land \lnot ViveNaFloresta(x).

Passo 5

Formalização quando o universo de discurso é o conjunto de todos os indivíduos (mais seguro quando não é especificado): precisamos garantir que o indivíduo seja um animal e, além disso, satisfaça as negações. A tradução direta é
\exists x\bigl(Animal(x)\land \lnot Domesticado(x)\land \lnot ViveNaFloresta(x)\bigr).
Explicação peça a peça:
  • \exists x — "há pelo menos um indivíduo x";
  • Animal(x) — esse indivíduo é um animal;
  • \lnot Domesticado(x) — esse animal não é domesticado;
  • \lnot ViveNaFloresta(x) — esse animal não vive na floresta;
    todas três conectadas por \land significam que o mesmo x satisfaz todas as condições.

Passo 6

Formalização alternativa quando o universo de discurso já é “animais” (ou seja, todas as variáveis já variam apenas sobre animais): aí não precisamos do predicado Animal(x) e escrevemos de forma mais curta
\exists x\bigl(\lnot Domesticado(x)\land \lnot ViveNaFloresta(x)\bigr).
Essa é equivalente à anterior quando assumimos explicitamente que a variável x só percorre animais.

Passo 7

Como negar corretamente essa afirmação (útil em provas): sabemos a equivalência lógica
\lnot\exists x\,\varphi(x)\equiv \forall x\,\lnot\varphi(x).
Aplicando ao caso da Passo 5, a negação de
\exists x\bigl(Animal(x)\land \lnot Domesticado(x)\land \lnot ViveNaFloresta(x)\bigr)
é
\forall x\,\lnot\bigl(Animal(x)\land \lnot Domesticado(x)\land \lnot ViveNaFloresta(x)\bigr).
Usando De Morgan para a negação da conjunção obtemos
\forall x\bigl(\lnot Animal(x)\lor Domesticado(x)\lor ViveNaFloresta(x)\bigr).
E essa forma é logicamente equivalente a
\forall x\bigl(Animal(x)\rightarrow (Domesticado(x)\lor ViveNaFloresta(x))\bigr),
que em palavras diz: “todo animal é domesticado ou vive na floresta” — essa é a forma intuitiva da negação da afirmação original.

Passo 8

Dicas práticas para a prova (resumo curto e aplicado):
  • Primeiro decida o universo de discurso. Se não estiver dito, use “todos os indivíduos” e inclua Animal(x) na fórmula. Se disser “para todo animal…”, aí o universo é animais e não precisa do predicado Animal.
  • Para “há pelo menos um …” use \exists. Para “todo …” use \forall.
  • Para “não A e não B” escreva \lnot A\land \lnot B.
  • Para negar uma fórmula com \exists, troque por \forall e negue o predicado interno (e vice-versa). Use as leis de De Morgan para distribuir a negação.

Passo 9

Exemplos rápidos para fixar:
  • “Existe uma pessoa que é alta e canhota” com universo geral:
\exists x\bigl(Pessoa(x)\land Alta(x)\land Canhota(x)\bigr).
  • “Não existe animal que seja venenoso e doméstico” (negação direta de um existencial):
\lnot\exists x\bigl(Animal(x)\land Venenoso(x)\land Domesticado(x)\bigr)\equiv \forall x\bigl(Animal(x)\rightarrow \lnot (Venenoso(x)\land Domesticado(x))\bigr).

Resposta

\exists x\bigl(Animal(x)\land \lnot Domesticado(x)\land \lnot ViveNaFloresta(x)\bigr)
\exists x\bigl(\lnot Domesticado(x)\land \lnot ViveNaFloresta(x)\bigr)

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