- Há pelo menos um animal que não é domesticado e não vive na floresta.
Passo 1
Enunciado: “Há pelo menos um animal que não é domesticado e não vive na floresta.”
O que o problema pede: representar essa frase de maneira formal (usando quantificadores e predicados) e entender com nitidez o que cada parte significa.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar: existe a noção de “animal”, a noção de “ser domesticado” e a noção de “viver na floresta”. Não há outras restrições dadas (por exemplo, não foi dito qual é o universo de discurso).
O que o problema pede: representar essa frase de maneira formal (usando quantificadores e predicados) e entender com nitidez o que cada parte significa.
Informações explícitas do enunciado que vamos usar: existe a noção de “animal”, a noção de “ser domesticado” e a noção de “viver na floresta”. Não há outras restrições dadas (por exemplo, não foi dito qual é o universo de discurso).
Passo 2
Definimos símbolos (escolha natural e clara de predicados):
significa “x é um animal”;
significa “x é domesticado”;
significa “x vive na floresta”.
Variável: representa um indivíduo do universo de discurso (que pode ser “todos os objetos” ou pode ser “apenas animais” — vou mostrar as duas opções).
Variável:
Passo 3
Entendendo o quantificador existencial:
lê-se "existe pelo menos um
tal que
". É o quantificador que usamos para expressar frases do tipo “há pelo menos um …”. Exemplo simples: “Há pelo menos uma pessoa alta” seria formalizado como
se o universo for geral.
Passo 4
Entendendo conjunção e negação internas: quando o enunciado diz “não é domesticado e não vive na floresta” isso é uma conjunção de duas negações aplicadas a predicados distintos. Em lógica usamos
para “e” e
para “não”. Então a condição “não é domesticado e não vive na floresta” vira
.
Passo 5
Formalização quando o universo de discurso é o conjunto de todos os indivíduos (mais seguro quando não é especificado): precisamos garantir que o indivíduo seja um animal e, além disso, satisfaça as negações. A tradução direta é
Explicação peça a peça:
-
— "há pelo menos um indivíduo "; -
— esse indivíduo é um animal; -
— esse animal não é domesticado; -
— esse animal não vive na floresta;
todas três conectadas porsignificam que o mesmo satisfaz todas as condições.
Passo 6
Formalização alternativa quando o universo de discurso já é “animais” (ou seja, todas as variáveis já variam apenas sobre animais): aí não precisamos do predicado
e escrevemos de forma mais curta
Essa é equivalente à anterior quando assumimos explicitamente que a variável
só percorre animais.
Passo 7
Como negar corretamente essa afirmação (útil em provas): sabemos a equivalência lógica
Aplicando ao caso da Passo 5, a negação de
é
Usando De Morgan para a negação da conjunção obtemos
E essa forma é logicamente equivalente a
que em palavras diz: “todo animal é domesticado ou vive na floresta” — essa é a forma intuitiva da negação da afirmação original.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (resumo curto e aplicado):
- Primeiro decida o universo de discurso. Se não estiver dito, use “todos os indivíduos” e inclua
na fórmula. Se disser “para todo animal…”, aí o universo é animais e não precisa do predicado . - Para “há pelo menos um …” use
. Para “todo …” use . - Para “não A e não B” escreva
. - Para negar uma fórmula com
, troque por e negue o predicado interno (e vice-versa). Use as leis de De Morgan para distribuir a negação.
Passo 9
Exemplos rápidos para fixar:
- “Existe uma pessoa que é alta e canhota” com universo geral:
- “Não existe animal que seja venenoso e doméstico” (negação direta de um existencial):