1. Todo produto que é eletrônico possui pelo menos uma garantia.

Passo 1

O enunciado apresenta a frase: “Todo produto que é eletrônico possui pelo menos uma garantia.”\n
Informações dadas e o que a frase pede (explicitadas):\n
  • Há um universo de referência: os produtos (implícito no enunciado).\n
  • Uma propriedade de um produto: ser eletrônico.\n
  • Uma relação entre produto e garantia: “possuir uma garantia”.\n
  • O que se afirma: para cada produto, se ele é eletrônico então existe pelo menos uma garantia associada a ele.\n
    A partir disso, a tarefa implícita é expressar essa afirmação de forma precisa usando quantificadores e predicados (uma formalização simbólica da frase).

Passo 2

Escolhendo notação e domínio (passo fundamental antes de escrever a fórmula):\n
  • Vamos tomar o domínio como “todos os produtos” (assim não precisamos de um predicado extra para dizer que algo é produto).\n
  • Definimos o predicado \text{Eletronico}(x) que significa “o produto x é eletrônico”.\n
  • Definimos a relação/predicado binário \text{PossuiGarantia}(x,y) que significa "o produto x possui a garantia y".\n
    Observação sobre notação: quando eu escrever \forall e \exists quero dizer “para todo” e “existe pelo menos um”, respectivamente. Cada variável como x ou y representa um elemento do domínio (aqui: um produto para x, e um objeto que identificamos como garantia para y).

Passo 3

Regra de tradução de linguagem natural para quantificadores (aula curta e prática):\n
  • A expressão “Todo … que …” normalmente vira um quantificador universal com uma condição. Ex.: “Todo estudante que estuda passa” vira \forall x(\text{Estudante}(x)\wedge\text{Estuda}(x)\rightarrow\text{Passa}(x)) se o domínio for tudo; ou, se o domínio já for “estudantes”, vira \forall x(\text{Estuda}(x)\rightarrow\text{Passa}(x)).\n
  • A expressão “possui pelo menos uma …” vira um quantificador existencial: “existe y tal que …”. Ex.: “tem pelo menos uma nota A” vira \exists y\,\text{NotaA}(y)\wedge\text{Tem}(aluno,y).\n
  • Importante: a ordem dos quantificadores importa. \forall x\exists y é bem diferente de \exists y\forall x. No nosso caso queremos dizer “para cada produto eletrônico existe (possivelmente diferente para cada produto) ao menos uma garantia”, que corresponde a \forall x\,\exists y, e não ao contrário.

Passo 4

Aplicando a regra ao enunciado, montamos a fórmula passo a passo:\n
  1. “Todo produto que é eletrônico” -> como o domínio é “produtos”, isso vira a condição \forall x(\text{Eletronico}(x)\rightarrow \cdots ).\n
  2. “possui pelo menos uma garantia” -> isto é \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y).\n
  3. Juntando: \forall x\bigl(\text{Eletronico}(x)\rightarrow \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y)\bigr).\n
    Cada parte significa:\n
  • \forall x : "para todo produto x".\n
  • \text{Eletronico}(x) : " x é eletrônico".\n
  • \exists y : "existe pelo menos uma garantia y".\n
  • \text{PossuiGarantia}(x,y) : "a garantia y pertence/está associada ao produto x".\n
    Assim lemos a fórmula inteira como: “Para todo produto x, se x é eletrônico, então existe alguma garantia y tal que x possui y.”

Passo 5

Erros comuns e por que evitá‑los (explicação didática):\n
  • Trocar a ordem dos quantificadores: escrever \exists y\forall x\,\text{PossuiGarantia}(x,y) diria "existe uma garantia única y que serve para todos os produtos x", o que é uma afirmação muito mais forte e geralmente falsa.\n
  • Usar conjunção no lugar de implicação quando o domínio não foi restringido: escrever \forall x(\text{Eletronico}(x)\wedge \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y)) é sintaticamente errado pois \exists não se encaixa diretamente dentro da conjunção desse jeito sem parentização correta; a forma correta que alguns colocam sem pensar é \forall x(\text{Eletronico}(x)\wedge \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y)) que na prática exige que todo elemento x do domínio satisfaça ambos: ser eletrônico e ter garantia — isso muda o sentido se o domínio não for só produtos eletrônicos. Por isso preferimos a forma com implicação quando o domínio é “produtos”.\n
  • Esquecer de especificar o domínio: se o domínio fosse “todos os objetos”, precisaríamos escrever \forall x((\text{Produto}(x)\wedge\text{Eletronico}(x))\rightarrow \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y)). Como escolhemos o domínio “produtos”, isso não é necessário aqui.

Passo 6

Negação da afirmação (útil na prova: saber negar corretamente uma frase com \forall e \exists) e derivação passo a passo:\n
  • Regra: \neg\forall x\,P(x) é equivalente a \exists x\,\neg P(x).\n
  • Regra: \neg(\exists y\,Q(y)) é equivalente a \forall y\,\neg Q(y).\n
  • Regra: \neg(A\rightarrow B) é equivalente a A\wedge\neg B.\n
    Aplicando para negar \forall x(\text{Eletronico}(x)\rightarrow \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y)):\n
  1. \neg\forall x(\text{Eletronico}(x)\rightarrow \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y))\n
  2. equivale a \exists x\,\neg(\text{Eletronico}(x)\rightarrow \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y))\n
  3. pela regra da negação da implicação: \exists x\bigl(\text{Eletronico}(x)\wedge \neg(\exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y))\bigr)\n
  4. e \neg(\exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y)) equivale a \forall y\,\neg\text{PossuiGarantia}(x,y).\n
  5. Logo a negação final é \exists x\bigl(\text{Eletronico}(x)\wedge \forall y\,\neg\text{PossuiGarantia}(x,y)\bigr).\n
    Interpretação em palavras da negação: “Existe pelo menos um produto eletrônico que não possui nenhuma garantia.” — essa é a forma intuitiva e útil para checar contradições em provas.

Passo 7

Exemplo concreto e rápido para fixar (pratique assim na prova):\n
  • Tomemos um produto concreto x= “celular A”. Se \text{Eletronico}(x) for verdadeiro, então a fórmula exige que exista algum y (por exemplo y= “garantia oficial 1 ano”) com \text{PossuiGarantia}(x,y) verdadeiro. Se não encontrarmos nenhum y, então o enunciado original é falso (isso é verificar a negação do passo anterior).\n
    Praticar com exemplos ajuda a sentir a diferença entre \forall x\exists y e \exists y\forall x.

Resposta

\forall x\bigl(\text{Eletronico}(x)\rightarrow \exists y\,\text{PossuiGarantia}(x,y)\bigr)

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