Seja
A=[ccc -4 & 3 & -3 0 & 1 & 0 6 & -4 & 5 ]
Preencha as lacunas com os autovalores de A, em ordem crescente e seus respectivos autovetores, com primeira coordenada não nula igual a 1.
l lambda1=-1 V1=(square, square, square)) lambda2=1 V2=(0,1,1) lambda3=2 V3=(square, square, square)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de autovalores e autovetores de uma matriz. A gente precisa preencher as lacunas com os autovalores de A em ordem crescente e encontrar os respectivos autovetores, garantindo que a primeira coordenada seja 1. Pra isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre autovalores ( lambda) e autovetores ( V).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz A. Sabemos que os autovalores são as soluções da equação característica, que é dada por det(A - lambda I) = 0, onde I é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I:
A - lambda I = -4 - lambda & 3 & -3 0 & 1 - lambda & 0 6 & -4 & 5 - lambda

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (-4 - lambda) cdot det 1 - lambda & 0 -4 & 5 - lambda - 3 cdot det 0 & 0 6 & 5 - lambda + (-3) cdot det 0 & 1 - lambda 6 & -4

Passo 5

Calculando os determinantes menores:
det 1 - lambda & 0 -4 & 5 - lambda = (1 - lambda)(5 - lambda) - (0)(-4) = (1 - lambda)(5 - lambda)
det 0 & 0 6 & 5 - lambda = 0
det 0 & 1 - lambda 6 & -4 = 0 cdot (-4) - (1 - lambda)(6) = -6(1 - lambda)

Passo 6

Substituindo de volta na equação do determinante:
det(A - lambda I) = (-4 - lambda)(1 - lambda)(5 - lambda) - 3 cdot 0 + (-3) cdot [-6(1 - lambda)] = (-4 - lambda)(1 - lambda)(5 - lambda) + 18(1 - lambda)

Passo 7

Fatorando (1 - lambda):
det(A - lambda I) = (1 - lambda)[(-4 - lambda)(5 - lambda) + 18]
Expandindo (-4 - lambda)(5 - lambda):
(-4)(5) + (-4)(-lambda) + (-lambda)(5) + (-lambda)(-lambda) = -20 + 4lambda - 5lambda + lambda^2 = lambda^2 - lambda - 20
Então:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(lambda^2 - lambda - 20 + 18) = (1 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2)

Passo 8

Agora, resolvemos det(A - lambda I) = 0:
(1 - lambda)(lambda^2 - lambda - 2) = 0
As soluções são:
lambda = 1 ou lambda^2 - lambda - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 Rightarrow lambda = 2 ou lambda = -1
Então, os autovalores são lambda1 = -1, lambda2 = 1, lambda3 = 2.

Passo 9

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a lambda1 = -1 e lambda3 = 2. Já temos o autovetor para lambda2 = 1, que é V2 = (0,1,1).

Passo 10

Para [\lambda_1 = -1), montamos a matriz :
Resolvemos :
Da segunda equação, (v_2 = 0].

Passo 11

Substituindo v2 = 0 na primeira equação:
-3v1 - 3v3 = 0 Rightarrow v1 = -v3
Vamos escolher v3 = 1 (primeira coordenada igual a 1), então v1 = -1. Portanto, o autovetor é V1 = (-1, 0, 1).

Passo 12

Para [\lambda_3 = 2), montamos a matriz :
Resolvemos :
Da segunda equação, (v_2 = 0].

Passo 13

Substituindo v2 = 0 na primeira equação:
-6v1 - 3v3 = 0 Rightarrow v1 = -12v3
Vamos escolher v3 = 2 para ter a primeira coordenada igual a 1, então v1 = -1. Portanto, o autovetor é V3 = (-1, 0, 2).

Resposta

l lambda1=-1 V1=(-1, 0, 1) lambda2=1 V2=(0,1,1) lambda3=2 V3=(-1, 0, 2)

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