Sejam
e
e seja
. Mostre que
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um número inteiro
que não é igual a
nem a
, e dois números naturais
e
. Além disso,
é o maior divisor comum (MDC) de
e
. O objetivo é mostrar que o máximo divisor comum entre
e
é igual a
.
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar conceitos de teoria dos números, especificamente propriedades do máximo divisor comum (MDC) e potências de números inteiros.
O que precisamos para resolver: Conhecimento sobre MDC, propriedades das potências e como elas se relacionam com divisores comuns.
Passo 2
Vamos lembrar que o máximo divisor comum de dois números, digamos
e
, é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Denotamos isso como
.
No nosso caso, queremos encontrar
.
Passo 3
Sabemos que
é o MDC de
e
, ou seja,
. Isso significa que
é o maior número que divide tanto
quanto
.
Além disso, podemos expressar
e
em termos de
:
onde
e
são inteiros positivos tais que
(ou seja,
e
são primos entre si).
Passo 4
Vamos reescrever
e
usando essas expressões:
Agora, temos que encontrar o MDC desses dois termos.
Passo 5
Utilizamos a propriedade das potências que diz:
Isso nos permite focar no termo
e suas potências.
Passo 6
Agora, queremos encontrar
.
Pela propriedade do MDC que relaciona potências, sabemos que:
Isso ocorre porque
e
são primos entre si, então o MDC das potências é apenas a base elevada à potência
menos um.
Passo 7
Portanto, concluímos que:
Resposta
O máximo divisor comum entre
e
é
.