Sejam a in Z backslash-1,1 e m, n in N e seja d=(m, n). Mostre que
(a^m-1, a^n-1)=a^d-1

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos um número inteiro a que não é igual a -1 nem a 1, e dois números naturais m e n . Além disso, d é o maior divisor comum (MDC) de m e n . O objetivo é mostrar que o máximo divisor comum entre a^m - 1 e a^n - 1 é igual a a^d - 1 .
Conteúdo da matéria: Vamos utilizar conceitos de teoria dos números, especificamente propriedades do máximo divisor comum (MDC) e potências de números inteiros.
O que precisamos para resolver: Conhecimento sobre MDC, propriedades das potências e como elas se relacionam com divisores comuns.

Passo 2

Vamos lembrar que o máximo divisor comum de dois números, digamos x e y , é o maior número que divide ambos sem deixar resto. Denotamos isso como (x, y) .
No nosso caso, queremos encontrar (a^m - 1, a^n - 1) .

Passo 3

Sabemos que d é o MDC de m e n , ou seja, d = (m, n) . Isso significa que d é o maior número que divide tanto m quanto n .
Além disso, podemos expressar m e n em termos de d :
m = d cdot k
n = d cdot l
onde k e l são inteiros positivos tais que (k, l) = 1 (ou seja, k e l são primos entre si).

Passo 4

Vamos reescrever a^m - 1 e a^n - 1 usando essas expressões:
a^m - 1 = a^d cdot k - 1
a^n - 1 = a^d cdot l - 1
Agora, temos que encontrar o MDC desses dois termos.

Passo 5

Utilizamos a propriedade das potências que diz:
a^d cdot k - 1 = (a^d)^k - 1
a^d cdot l - 1 = (a^d)^l - 1
Isso nos permite focar no termo a^d - 1 e suas potências.

Passo 6

Agora, queremos encontrar ( (a^d)^k - 1, (a^d)^l - 1 ) .
Pela propriedade do MDC que relaciona potências, sabemos que:
( (a^d)^k - 1, (a^d)^l - 1 ) = a^d - 1
Isso ocorre porque k e l são primos entre si, então o MDC das potências é apenas a base elevada à potência d menos um.

Passo 7

Portanto, concluímos que:
( a^m - 1, a^n - 1 ) = a^d - 1

Resposta

O máximo divisor comum entre a^m - 1 e a^n - 1 é a^d - 1 .

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