Existe a possibilidade de usar cobre ou alumínio em uma linha de transmissão de alta tensão para transportar uma corrente de até 600 A. A resistência por unidade de comprimento deve ser 0,50 Omega. As massas específicas do cobre e do alumínio são 8960 e 2600 kg/m^3, respectivamente. Determine (a) o módulo J da densidade de corrente; (b) a massa por unidade de comprimento lambda no caso de um cabo de cobre; © lambda no caso de um cabo de alumínio.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre linhas de transmissão de alta tensão. Precisamos determinar a densidade de corrente, a massa por unidade de comprimento para cabos de cobre e de alumínio. Para isso, vamos usar conceitos de resistência elétrica, densidade de corrente e massa específica dos materiais. Vamos precisar das fórmulas de resistência elétrica, densidade de corrente e massa por unidade de comprimento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o módulo J da densidade de corrente. A densidade de corrente J é definida como a corrente elétrica I dividida pela área da seção transversal A do condutor:
J = IA
Como precisamos do módulo, vamos trabalhar com os valores absolutos.

Passo 3

Sabemos que a resistência R por unidade de comprimento é dada por:
R = rho lA
Como é por unidade de comprimento, consideramos l = 1 , m, então:
R = rho 1A
Rearranjando para encontrar a área A:
A = rho 1R

Passo 4

Vamos agora relacionar a densidade de corrente com a resistência. Sabemos que a resistência de um material também pode ser expressa em termos da resistividade rho:
R = rho lA
Como já consideramos l = 1 , m:
R = rho 1A
Isso nos ajuda a conectar a resistência com a área da seção transversal.

Passo 5

Para encontrar J, precisamos expressar a área A em termos de J. Da definição de densidade de corrente:
A = IJ
Substituindo na equação da resistência:
R = rho 1IJ = rho JI
Rearranjando para encontrar J:
J = R Irho

Passo 6

Agora, vamos calcular J usando os valores fornecidos. Como a resistência por unidade de comprimento R é 0,50 , Omega, e a corrente I é 600 , A, precisamos da resistividade rho. Para isso, escolhemos um dos materiais, vamos usar o cobre primeiro, cuja resistividade é aproximadamente 1,68 times 10^-8 , Omega cdot m.
Substituindo na fórmula:
J = 0,50 times 6001,68 times 10^-8 approx 3001,68 times 10^-8 approx 1,7857 times 10^10 , A/m^2

Passo 7

Agora que temos J, vamos calcular a massa por unidade de comprimento lambda para o cabo de cobre. A massa por unidade de comprimento é dada por:
lambda = rhomassa times A
Onde rhomassa é a densidade do material e A é a área da seção transversal. Já sabemos que:
A = IJ = 6001,7857 times 10^10 approx 3,366 times 10^-8 , m^2
A densidade do cobre é 8960 , kg/m^3, então:
lambda = 8960 times 3,366 times 10^-8 approx 0,000301 , kg/m

Passo 8

Por fim, vamos calcular a massa por unidade de comprimento lambda para o cabo de alumínio. Usamos a mesma fórmula:
lambda = rhomassa times A
A densidade do alumínio é 2600 , kg/m^3. E a área A permanece a mesma, pois a resistência por unidade de comprimento e a corrente são constantes. Então:
lambda = 2600 times 3,366 times 10^-8 approx 8,752 times 10^-5 , kg/m

Resposta

(a) O módulo J da densidade de corrente é aproximadamente 1,7857 times 10^10 , A/m^2.
(b) A massa por unidade de comprimento para um cabo de cobre é aproximadamente 0,000301 , kg/m.
© A massa por unidade de comprimento para um cabo de alumínio é aproximadamente 8,752 times 10^-5 , kg/m.

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