Existe a possibilidade de usar cobre ou alumínio em uma linha de transmissão de alta tensão para transportar uma corrente de até 600 A. A resistência por unidade de comprimento deve ser 0,50
. As massas específicas do cobre e do alumínio são 8960 e 2600
, respectivamente. Determine (a) o módulo
da densidade de corrente; (b) a massa por unidade de comprimento
no caso de um cabo de cobre; ©
no caso de um cabo de alumínio.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre linhas de transmissão de alta tensão. Precisamos determinar a densidade de corrente, a massa por unidade de comprimento para cabos de cobre e de alumínio. Para isso, vamos usar conceitos de resistência elétrica, densidade de corrente e massa específica dos materiais. Vamos precisar das fórmulas de resistência elétrica, densidade de corrente e massa por unidade de comprimento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o módulo
da densidade de corrente. A densidade de corrente
é definida como a corrente elétrica
dividida pela área da seção transversal
do condutor:
Como precisamos do módulo, vamos trabalhar com os valores absolutos.
Passo 3
Sabemos que a resistência
por unidade de comprimento é dada por:
Como é por unidade de comprimento, consideramos
, então:
Rearranjando para encontrar a área
:
Passo 4
Vamos agora relacionar a densidade de corrente com a resistência. Sabemos que a resistência de um material também pode ser expressa em termos da resistividade
:
Como já consideramos
:
Isso nos ajuda a conectar a resistência com a área da seção transversal.
Passo 5
Para encontrar
, precisamos expressar a área
em termos de
. Da definição de densidade de corrente:
Substituindo na equação da resistência:
Rearranjando para encontrar
:
Passo 6
Agora, vamos calcular
usando os valores fornecidos. Como a resistência por unidade de comprimento
é
, e a corrente
é
, precisamos da resistividade
. Para isso, escolhemos um dos materiais, vamos usar o cobre primeiro, cuja resistividade é aproximadamente
.
Substituindo na fórmula:
Passo 7
Agora que temos
, vamos calcular a massa por unidade de comprimento
para o cabo de cobre. A massa por unidade de comprimento é dada por:
Onde
é a densidade do material e
é a área da seção transversal. Já sabemos que:
A densidade do cobre é
, então:
Passo 8
Por fim, vamos calcular a massa por unidade de comprimento
para o cabo de alumínio. Usamos a mesma fórmula:
A densidade do alumínio é
. E a área
permanece a mesma, pois a resistência por unidade de comprimento e a corrente são constantes. Então:
Resposta
(a) O módulo
da densidade de corrente é aproximadamente
.
(b) A massa por unidade de comprimento para um cabo de cobre é aproximadamente
.
© A massa por unidade de comprimento para um cabo de alumínio é aproximadamente
.