Existe um processo para fabricação de eixos que apresenta comportamento praticamente normal com média de 3,062 mm e variância de 0,0001 mm^2.
a) Qual é o percentual de eixos produzidos com diâmetro superior a 3,05 mm ? (R.: 0,8849)
b) Se o diâmetro deverá ter no mínimo 3,04 mm e no máximo 3,08 mm, e se o custo por eixo é de , 2 e é vendido por , 2 e é vendido por , e que eixos produzidos ou muito largos ou muito estreitos são perdidos, qual é o lucro esperado numa produção de 100 eixos? (R.: $355,1)

Passo 1

O enunciado descreve um processo de fabricação de eixos cujo diâmetro segue uma distribuição aproximadamente normal com média de 3,062 mm e variância de 0,0001 mm² (logo desvio-padrão de 0,01 mm). Vamos usar padronização da Normal, tabelas de Φ e depois calcular lucros com base em probabilidades e custos.

Passo 2

Para (a), queremos P(D > 3,05 mm). Padronizando: seja Z a variável normal padrão, então temos
Z = D - 3,0620,01 = 3,05 - 3,0620,01 = -1,2
Logo
P(D > 3,05) = Pl(Z > -1,2r) = 1 - Φ(-1,2) = Φ(1,2) = 0,8849

Passo 3

Para (b), primeiro calculamos a probabilidade de o eixo ficar dentro das especificações 3,04 mm ≤ D ≤ 3,08 mm. Padronizando os limites:
Z1 = 3,04 - 3,0620,01 = -2,2,
Z2 = 3,08 - 3,0620,01 = 1,8
Assim,
P(3,04 ≤ D ≤ 3,08) = Φ(1,8) - Φ(-2,2) = 0,9641 - 0,0139 = 0,9502

Passo 4

Em uma produção de 100 eixos, o número esperado de eixos bons é 100·0,9502 = 95,02. Cada eixo vendido gera receita de $5 e cada eixo (bom ou rejeitado) custa $1,2. Logo:
  • Receita esperada = 95,02 · 5 = 475,1
  • Custo total = 100 · 1,2 = 120

Passo 5

O lucro esperado é a diferença entre receita e custo:
Lucro = 475,1 - 120 = 355,1

Resposta

a) 0,8849
b) $355,1

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