Suponha que o escore dos estudantes no vestibular seja uma variável aleatória com distribuição normal com média 550 e variância 900 . Se a admissão em certo curso exige um escore mínimo de 575, qual é a probabilidade de um estudante ser admitido? E se o escore mínimo for 540 ? (R.: 0,2033; 0,6293) Adaptado de DOWNING, D. e CLARK, J… Estatística Aplicada, São Paulo: Saraiva, 2000, página 172.

Passo 1

O enunciado diz que a nota do vestibular é uma variável aleatória normal com média µ = 550 e variância σ² = 900 (logo σ = 30). Precisamos calcular as probabilidades de X ser maior que certos cortes (575 e 540) usando padronização e a tabela da normal padrão.

Passo 2

Para qualquer corte c, a gente padroniza X assim: primeiro definimos Z = (X – µ)/σ, que segue a normal padrão N(0,1). Daí vale a fórmula
P(X >= c) = 1 - Phil(tfracc-musigmar)
onde Φ é a função de distribuição acumulada da normal padrão.

Passo 3

No caso c = 575 temos
z1 = 575 - 55030 = 2530 approx 0,8333
Logo
P(X >= 575) = 1 - Phi(0,8333) approx 1 - 0,7967 = 0,2033
(usei Φ(0,83) ≈ 0,7967).

Passo 4

No caso c = 540 temos
z2 = 540 - 55030 = -1030 = -0,3333
Como Φ(−0,3333) = 1 − Φ(0,3333) e Φ(0,3333) ≈ 0,6293, resulta
P(X >= 540) = 1 - Φ(-0,3333) = Φ(0,3333) approx 0,6293

Resposta

Os resultados são P(X >= 575) = 0,2033 e P(X >= 540) = 0,6293.

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