Ao final dos 15 rounds de uma luta de boxe, os juízes decidiram adotar o seguinte procedimento para dar o resultado. A cada assalto, entravam em acordo e a contagem era de 1 ponto para o lutador que eles achavam que havia ganhado o assalto; e 0 para o que havia perdido. Ao final da luta, o placar estava 8 times 7.
Em quantas delas o vencedor fica sempre à frente no placar?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema tá pedindo. Temos uma luta de boxe com 15 rounds, onde cada round um lutador ganha 1 ponto e o outro ganha 0. No final, o placar foi 8 a 7. A pergunta é: de quantas maneiras o vencedor (aquele que fez 8 pontos) conseguiu ficar sempre à frente durante toda a luta. Ou seja, nunca ficou atrás no placar em nenhum momento. Para resolver isso, vamos precisar usar um conceito de combinatória conhecido como Teorema do Balotista.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em cada round como um passo. O vencedor ganha 8 passos (pontos) e o outro ganha 7. Queremos saber de quantas formas esses 15 passos podem ser organizados de modo que o vencedor sempre esteja à frente. Isso significa que, após qualquer round, o número de pontos do vencedor nunca pode ser menor que o do perdedor.

Passo 3

Aqui entra o Teorema do Balotista. Esse teorema nos diz que se temos dois candidatos, A e B, onde A ganha $ a $ votações e B ganha $ b $ votações, com $ a > b $, então o número de sequências onde A está sempre à frente é dado por:
a úê
No nosso caso, $ a = 8 $ e $ b = 7 $.

Passo 4

Vamos calcular cada parte da fórmula:
  1. Primeiro, a diferença entre os pontos: $ a - b = 8 - 7 = 1 $
  2. A soma dos pontos: $ a + b = 8 + 7 = 15 $
  3. O coeficiente binomial: $ \binom{15}{8} $. Isso representa o número de maneiras de distribuir 8 vitórias em 15 rounds.

Passo 5

Calculando o coeficiente binomial:
binom158 = 15!8! times (15-8)! = 15!8! times 7! = 6435

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula do teorema:
Número de sequências = 115 times 6435 = 429 úê

Resposta

Existem 429 maneiras em que o vencedor ficou sempre à frente no placar durante os 15 rounds.

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