Seja uma matriz tal que a 3 a linha é dada pela soma da 1a linha com a 2a linha. Faça o que se pede:
a) Explique porque não é invertível.
b) Explique porque não tem solução.
c) Para quais valores de b1, b2, b3, o sistema A cdot X=(lb1 b2 b3) pode ter uma solução.
d) O que acontece com a linha 3 quando for feito o processo de escalonamento?
Passo 1
O enunciado fornece uma matriz cuja terceira linha é a soma da primeira com a segunda. Pede:
(a) mostrar que não é invertível;
(b) explicar por que o sistema não tem solução;
(c) determinar para quais o sistema pode ter solução;
(d) descrever o que acontece com a terceira linha no processo de escalonamento.
Usaremos conceitos de dependência linear de linhas, determinante e consistência de sistemas lineares, além de eliminação de Gauss.
Passo 2
A terceira linha de A é a soma da primeira e da segunda. Logo as três linhas são linearmente dependentes, o que implica det(A)=0. Como uma matriz quadrada é invertível se e somente se seu determinante for diferente de zero, concluímos que A não é invertível.
Passo 3
Considere o sistema geral
Chamando as linhas de de , com , as equações são
Da terceira equação segue a condição necessária . No caso particular temos , logo o sistema é inconsistente e não há solução.
Passo 4
Concluímos que o sistema admite solução se e somente se
Para quaisquer sem essa relação, não existe que satisfaça o sistema.
Passo 5
No escalonamento por eliminação de Gauss usamos as linhas 1 e 2 como pivôs para zerar a linha 3. Como ell3=ell1+ell2, ao executar
ell3 ;long<=ftarrow;ell3 - (ell1+ell2)
a linha 3 fica
(ell1+ell2)-(ell1+ell2)=(0,0,0),
isto é, torna-se completamente nula.
Resposta
(a) A não é invertível porque as linhas são linearmente dependentes, logo det(A)=0.
(b) Não há solução para A X = (1,0,0)^T pois a consistência exigiria 0=1+0, o que não ocorre.
(c) O sistema tem solução exatamente quando b3 = b1 + b2.
(d) No escalonamento de Gauss a terceira linha é transformada em (0,0,0).