Seja
uma matriz invertível. Defina a matriz
trocando duas linhas da matriz
. A matriz
é invertível? Caso sim, determine
em termos de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz invertível e que obtemos
trocando duas linhas de
. O conteúdo que vamos usar é que trocar linhas de uma matriz pode ser visto como multiplicar à esquerda por uma matriz de permutação
— que é uma matriz elementar invertível.
Passo 2
Defina
como a matriz de permutação que troca exatamente as mesmas duas linhas de
. Por construção temos
Como toda matriz de permutação é invertível (ela é uma matriz elementar), concluímos que
também é invertível, pois é produto de matrizes invertíveis.
Passo 3
Para achar
usamos
Mas, no caso de uma matriz de permutação que é sua própria inversa, vale
. Portanto
Resposta
onde
é a matriz de permutação que troca as mesmas duas linhas de
.