Seja A uma matriz invertível. Defina a matriz B trocando duas linhas da matriz A. A matriz B é invertível? Caso sim, determine B^-1 em termos de A^-1.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz invertível e que obtemos B trocando duas linhas de A. O conteúdo que vamos usar é que trocar linhas de uma matriz pode ser visto como multiplicar à esquerda por uma matriz de permutação P — que é uma matriz elementar invertível.

Passo 2

Defina P como a matriz de permutação que troca exatamente as mesmas duas linhas de A. Por construção temos
B = P,A
Como toda matriz de permutação é invertível (ela é uma matriz elementar), concluímos que B também é invertível, pois é produto de matrizes invertíveis.

Passo 3

Para achar B^-1 usamos
B^-1 = (P,A)^-1 = A^-1 ,P^-1
Mas, no caso de uma matriz de permutação que é sua própria inversa, vale P^-1=P. Portanto
B^-1 = A^-1,P

Resposta

B é invertível e
B^-1 = A^-1,P,
onde P é a matriz de permutação que troca as mesmas duas linhas de A.

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