Seja
onde
e
são funções diferenciáveis. Sabendo que
e
. Determine
e
.
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem uma função composta
. Isso significa que
depende de
e
através das funções
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Pela regra da cadeia, temos:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
e
são as derivadas parciais de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos substituir os valores fornecidos:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é a derivada parcial de
em relação a
no ponto
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Onde
e
são as derivadas parciais de
e
em relação a
.
Passo 5
Substituindo os valores fornecidos:
Então:
Resposta
Portanto, as derivadas parciais são: