Seja R(s, t)=G(u(s, t), v(s, t)) onde G, u e s são funções diferenciáveis. Sabendo que u(1,2)= 5, us(1,2)=4, ut(1,2)=-3, v(1,2)=7, vs(1,2)=2, vt(1,2)=6, Gu(5,7)=9 e Gv(5,7)=-2. Determine RS(1,2) e Rt(1,2).

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem uma função composta . Isso significa que depende de e através das funções e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular Rs = Gu cdot us + Gv cdot vs , que é a derivada parcial de em relação a no ponto . Pela regra da cadeia, temos:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas parciais de e em relação a .

Passo 3

Vamos substituir os valores fornecidos:
Gu = 9, us = 4, Gv = -2, vs = 2
Então:
Rs(1,2) = 9 cdot 4 + (-2) cdot 2 = 36 - 4 = 32

Passo 4

Agora, vamos calcular Rt = Gu cdot ut + Gv cdot vt , que é a derivada parcial de em relação a no ponto . Novamente, usamos a regra da cadeia:
Onde e são as derivadas parciais de e em relação a .

Passo 5

Substituindo os valores fornecidos:
Gu = 9, ut = -3, Gv = -2, vt = 6
Então:
Rt(1,2) = 9 cdot (-3) + (-2) cdot 6 = -27 - 12 = -39

Resposta

Portanto, as derivadas parciais são:
Rs(1,2) = 32 e Rt(1,2) = -39

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