Existem 4 reis num baralho de 52 cartas. Extrai-se ao acaso uma carta do baralho, registra-se o seu valor e a seguir repõe-se a carta extraída. Este procedimento é repetido 4 vezes. Determine a probabilidade de que existam exatamente 2 reis entre as cartas selecionadas, sabendo-se que entre elas existe pelo menos um rei.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de probabilidade, especificamente sobre eventos com reposição em um baralho de 52 cartas. A gente vai precisar entender como calcular probabilidades condicionais e combinar essas probabilidades para encontrar a resposta final. A missão é descobrir a chance de, ao tirar 4 cartas (repondo a cada vez), exatamente 2 delas serem reis, sabendo que pelo menos uma é rei.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um baralho tem 52 cartas, das quais 4 são reis. Como a carta é reposta após cada extração, cada retirada é independente. A probabilidade de tirar um rei em uma única tentativa é:
P(Rei) = 452 = 113
E a probabilidade de não tirar um rei é:
P(Não Rei) = 1 - 113 = 1213 ã

Passo 3

Agora, queremos a probabilidade de exatamente 2 reis em 4 retiradas. Isso segue uma distribuição binomial, onde usamos a fórmula:
P(k) = C(n, k) times p^k times (1-p)^n-k
Aqui, $ n = 4 $ (número de retiradas), $ k = 2 $ (número de reis), e $ p = \frac{1}{13} $.

Passo 4

Vamos calcular $ C(4, 2) $, que é o número de combinações de 4 retiradas escolhendo 2:
C(4, 2)

Passo 5

Agora, aplicando os valores na fórmula da binomial:
P(2) = 6 times (113)^2 times (1213)^2
Vamos calcular isso:
P(2) = 6 times 1169 times 144169 = 6 times 14428561 = 86428561

Passo 6

Em seguida, precisamos calcular a probabilidade de ter pelo menos um rei em 4 retiradas. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de nenhum rei ocorrer:
P(Pelo menos 1 Rei) = 1 - P(0)
Onde $ P(0) $ é a probabilidade de tirar 0 reis:
P(0)
Então:
P(0) = (1213)^4 = 2073628561

Passo 7

Finalmente, queremos a probabilidade condicional de ter exatamente 2 reis dado que já sabemos que tem pelo menos 1 rei. Isso é:
P(Exatamente 2 Reis | Pelo menos 1 Rei) = P(2)P(Pelo menos 1 Rei) = 86428561782528561 = 8647825

Resposta

A probabilidade de ter exatamente 2 reis entre as 4 cartas selecionadas, sabendo que há pelo menos um rei, é:
8647825 approx 0,1105 ou 11,05%

Exercícios relacionados