Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Mostre que um polinômio de grau 3 tem no máximo três raízes reais.
Mostre que um polinômio de grau 3 tem no máximo três raízes reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que um polinômio de grau
tem no máximo três raízes reais. Para isso vamos usar o Teorema de Rolle (caso particular do Teorema do Valor Médio) e o fato de que a derivada de um polinômio de grau
é um polinômio de grau
.
Passo 2
Seja
um polinômio de grau
. Suponha, por absurdo, que existam quatro raízes reais distintas
todas satisfazendo
. Como
é um polinômio, ele é contínuo em
e diferenciável em todo ponto.
Aplicando o Teorema de Rolle em cada intervalo para
, obtemos três pontos
Aplicando o Teorema de Rolle em cada intervalo
tais que
Passo 3
Isso mostra que
teria pelo menos três raízes reais distintas. Mas
é um polinômio de grau
, e um polinômio de grau
só pode ter no máximo duas raízes reais. Acontece aí a contradição.
Concluímos que a hipótese de existirem quatro raízes reais falhou. Logo, um polinômio de grau não pode ter mais do que três raízes reais.
Concluímos que a hipótese de existirem quatro raízes reais falhou. Logo, um polinômio de grau
Resposta
Um polinômio de grau
tem no máximo três raízes reais, pois se tivesse quatro, seu derivado de grau
teria pelo menos três raízes reais, o que é impossível.