Teorema do Valor Médio,Regra de L'Hôpital,Máximos e Mínimos em intervalos abertos,Como as derivadas afetam a forma do gráfico.Crescimento,decrescimento e concavidade.
Mostre que um polinômio de grau 3 tem no máximo três raízes reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um polinômio de grau 3 tem no máximo três raízes reais. Para isso vamos usar o Teorema de Rolle (caso particular do Teorema do Valor Médio) e o fato de que a derivada de um polinômio de grau 3 é um polinômio de grau 2.

Passo 2

Seja p(x) um polinômio de grau 3. Suponha, por absurdo, que existam quatro raízes reais distintas
x1 < x2 < x3 < x4
todas satisfazendo p(xi)=0. Como p é um polinômio, ele é contínuo em R e diferenciável em todo ponto.
Aplicando o Teorema de Rolle em cada intervalo [xi,xi+1] para i=1,2,3, obtemos três pontos
c1in(x1,x2), c2in(x2,x3), c3in(x3,x4)
tais que
p'(c1)=0, p'(c2)=0, p'(c3)=0

Passo 3

Isso mostra que p'(x) teria pelo menos três raízes reais distintas. Mas p'(x) é um polinômio de grau 2, e um polinômio de grau 2 só pode ter no máximo duas raízes reais. Acontece aí a contradição.
Concluímos que a hipótese de existirem quatro raízes reais falhou. Logo, um polinômio de grau 3 não pode ter mais do que três raízes reais.

Resposta

Um polinômio de grau 3 tem no máximo três raízes reais, pois se tivesse quatro, seu derivado de grau 2 teria pelo menos três raízes reais, o que é impossível.

Exercícios relacionados