1. A existência das ondas eletromagnéticas, previstas nas equações de Maxwell, foi inicialmente investigada por Heinrich Herlz, o qual teve sucesso na geração e detecção de ondas de rádio, que podem ser chamadas de ondas hertzianas. Demonstre, a partir das equações de Maxwell, a propagação das ondas eletromagnéticas.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir das equações de Maxwell no vácuo, que os campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} satisfazem equações de onda e, portanto, se propagam. Vamos usar as equações de Maxwell sem cargas nem correntes (ondas eletromagnéticas no vácuo) e propriedades vetoriais para chegar à equação de onda.

Passo 2

As equações de Maxwell no vácuo são:
\nabla \cdot \mathbf{E} = 0,
\nabla \cdot \mathbf{B} = 0,
\nabla \times \mathbf{E} = -\,\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t},
\nabla \times \mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\,\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 3

Para obter a equação de onda para \mathbf{E}, tomamos o rotacional de \nabla \times \mathbf{E}:
\nabla \times \bigl(\nabla \times \mathbf{E}\bigr) = -\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla \times \mathbf{B}\bigr).
Substituindo \nabla \times \mathbf{B} da equação de Maxwell–Ampère,
\nabla \times \bigl(\nabla \times \mathbf{E}\bigr) = -\,\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.
Usando a identidade vetorial
\nabla \times (\nabla \times \mathbf{E}) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{E}) - \nabla^{2}\mathbf{E}
e sabendo que \nabla \cdot \mathbf{E}=0, ficamos com
-\,\nabla^{2}\mathbf{E} = -\,\mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}},
ou seja,
\nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}.

Passo 4

Analogamente, para \mathbf{B} tomamos o rotacional de \nabla \times \mathbf{B}:
\nabla \times \bigl(\nabla \times \mathbf{B}\bigr) = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla \times \mathbf{E}\bigr).
Substituindo \nabla \times \mathbf{E}=-\partial\mathbf{B}/\partial t e usando a mesma identidade vetorial junto com \nabla\cdot\mathbf{B}=0, obtemos
\nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}.

Passo 5

As equações
\nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}, \qquad \nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}}
são equações de onda tridimensionais para \mathbf{E} e \mathbf{B}, com velocidade
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}}.
Isso demonstra que perturbações dos campos eletromagnéticos se propagam no vácuo como ondas, à velocidade c.

Resposta

As perturbações dos campos elétrico e magnético no vácuo satisfazem as equações de onda
\nabla^{2}\mathbf{E} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{E}}{\partial t^{2}}, \qquad \nabla^{2}\mathbf{B} = \mu_{0}\,\varepsilon_{0}\, \frac{\partial^{2}\mathbf{B}}{\partial t^{2}},
mostrando a propagação de ondas eletromagnéticas à velocidade
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_{0}\,\varepsilon_{0}}}.

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