Se u1, ldots, un é base de um espaço vetorial V mostre que
alpha1 u1, ldots, alphaN uN em que alphai neq 0 para i=1, ldots, N é base de V.

Passo 1

O enunciado diz que u1,dots,un é uma base de um espaço vetorial V. Queremos mostrar que, se alphaineq0 para todo i, então
alpha1u1,dots,alphanun
também é uma base de V.
Para isso vamos usar a definição de base: um conjunto é base se (i) gera V e (ii) é linearmente independente.

Passo 2

Mostramos primeiro que alpha1u1,dots,alphanun gera V. Seja vin V. Como u1,dots,un é base, existem escalares c1,dots,cn tais que
v = sumi=1^n ci,ui
Como cada alphaineq0, podemos escrever
ui = 1alphai,(alphai ui),
então
v = sumi=1^n ci,ui = sumi=1^n ci,1alphai,(alphai ui)
Isso mostra que v é combinação linear de alphai ui, ou seja, esse conjunto gera V.

Passo 3

Agora provamos que alpha1u1,dots,alphanun é linearmente independente. Suponha uma combinação linear nula:
sumi=1^n di,(alphai ui) = 0
Isso equivale a
sumi=1^n (di,alphai),ui = 0
Como ui é linearmente independente, cada coeficiente di,alphai deve ser zero. Mas alphaineq0, logo di=0 para todo i. Portanto o conjunto é linearmente independente.

Passo 4

Concluímos que alpha1u1,dots,alphanun gera V e é linearmente independente, ou seja, é uma base de V.

Resposta

alpha1u1,dots,alphanun é base de V.

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