Se
é base de um espaço vetorial
mostre que
em que
para
é base de
.
Passo 1
O enunciado diz que
é uma base de um espaço vetorial
. Queremos mostrar que, se
para todo
, então
também é uma base de .
Para isso vamos usar a definição de base: um conjunto é base se (i) gera e (ii) é linearmente independente.
também é uma base de
Para isso vamos usar a definição de base: um conjunto é base se (i) gera
Passo 2
Mostramos primeiro que
gera
. Seja
. Como
é base, existem escalares
tais que
Como cada
, podemos escrever
então
Isso mostra que
é combinação linear de
, ou seja, esse conjunto gera
.
Passo 3
Agora provamos que
é linearmente independente. Suponha uma combinação linear nula:
Isso equivale a
Como
é linearmente independente, cada coeficiente
deve ser zero. Mas
, logo
para todo
. Portanto o conjunto é linearmente independente.
Passo 4
Concluímos que
gera
e é linearmente independente, ou seja, é uma base de
.