Expanda f(z)=7 z-3z(z-1) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Sugestão: 7 z-3z=7(z-1)+41+(z-1).]

Passo 1

A questão pede a expansão de Laurent de f(z)=7z-3z(z-1) num anel centrado em z=1, com 0<|z-1|<1. Vamos usar séries geométricas em w=z-1.

Passo 2

Definimos w=z-1, logo z=1+w. Substituindo em f:
f(z)=7(1+w)-3(1+w),w=4+7ww(1+w)

Passo 3

Separamos a fração em duas parcelas que são fáceis de expandir:
4+7ww(1+w)=4w(1+w)+7ww(1+w)=4w(1+w)+71+w

Passo 4

Para |w|<1 usamos a série geométrica:
11+w=sumn=0^infty(-1)^n w^n
Assim:
4w(1+w)=4wsumn=0^infty(-1)^n w^n=sumn=0^infty4(-1)^n w^n-1,
71+w=7sumn=0^infty(-1)^n w^n

Passo 5

Agora somamos termo a termo. Para w^-1 só vem da primeira soma, com n=0:
4w^-1
Para w^k com k>=0 há contribuições de ambas as séries. Reagrupando, obtemos
f(z)=4w^-1+3+sumk=1^infty3(-1)^k w^k
Lembrando que w=z-1, isso dá a expansão de Laurent desejada.

Resposta

f(z)=4z-1+3-3(z-1)+3(z-1)^2-3(z-1)^3+cdots, 0<|z-1|<1

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