Expanda f(z)=7 z-3z(z-1) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
0<|z|<1

Passo 1

O enunciado pede para expandir f(z)= 7z-3z(z-1) em uma série de Laurent válida em 0<|z|<1. O conteúdo é frações parciais e séries de potências (Laurent) em uma vizinhança de z=0, excluindo z=0.

Passo 2

Vamos fazer a decomposição em frações parciais de 7z-3z(z-1). Suponha
7z-3z(z-1)=Az+Bz-1

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por z(z-1) obtemos
7z-3=A(z-1)+Bz=(A+B)z-A

Passo 4

Igualando coeficientes: de z vem A+B=7 e da constante vem -A=-3, logo A=3 e B=4. Assim
f(z)=3z+4z-1

Passo 5

Para |z|<1 reescrevemos
4z-1=-41-z=-4sumn=0^inftyz^n

Passo 6

Portanto a série de Laurent fica
f(z)=3z-4sumn=0^inftyz^n

Resposta

f(z)=3z-4sumn=0^inftyz^n,0<|z|<1

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