QuestĂŁo 31: Calcule integral duplaS F n d S, onde F=3 y^2 z i+y j+z k e S ĂŠ a superfĂ­cie plana y+z=2, interior ao cilindro x^2+y^2=1, com campo de vetores normais n tal que n cdot k<0.

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo necessário: a questão pede o fluxo integral duplaS Fcdot n,dS sobre a parte do plano y+z=2 dentro do cilindro x^2+y^2=1, com orientação tal que ncdot k<0. Para resolver, vamos usar parametrização de superfícies e cálculo do vetor área orientado.

Passo 2

Parametrização da superfície e vetor área orientado: podemos parametrizar S por r(x,y)=(x,y,2-y) com (x,y) no disco D:,x^2+y^2<=1. Calculamos
rx=(1,0,0), ry=(0,1,-1)
e o produto vetorial
rxtimes ry=(0,1,1)
Como esse vetor tem componente z>0 mas queremos ncdot k<0, escolhemos
n,dS=-l( rxtimes ryr),dA=(0,-1,-1),dA

Passo 3

Avaliação de F sobre a parametrização e cálculo do produto escalar: em S, temos z=2-y, então
F(x,y,2-y)=l(3y^2(2-y),;y,;2-yr)
Fazendo o produto escalar com (0,-1,-1):
Fcdot(0,-1,-1)=-y-(2-y)=-2,
um valor constante.

Passo 4

Cálculo da integral de superfície: como Fcdot n=-2 é constante, temos
integral duplaS Fcdot n,dS=integral duplaD(-2),dA=-2integral duplaDdA=-2cdotÁrea(D)=-2pi Á

Resposta

-2\pi

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