QuestĂŁo 31: Calcule
, onde
e
ĂŠ a superfĂcie plana
, interior ao cilindro
, com campo de vetores normais
tal que
.
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo necessário: a questão pede o fluxo
sobre a parte do plano
dentro do cilindro
, com orientação tal que
. Para resolver, vamos usar parametrização de superfícies e cálculo do vetor área orientado.
Passo 2
Parametrização da superfície e vetor área orientado: podemos parametrizar
por
com
no disco
. Calculamos
e o produto vetorial
Como esse vetor tem componente
mas queremos
, escolhemos
Passo 3
Avaliação de
sobre a parametrização e cálculo do produto escalar: em
, temos
, então
Fazendo o produto escalar com
:
um valor constante.
Passo 4
Cálculo da integral de superfície: como
é constante, temos
Resposta
-2\pi