Expanda
usando o Teorema Binomial.
Passo 1
O enunciado pede para expandir
usando o Teorema Binomial.
Informações dadas: é uma potência de soma com expoente
.
O objetivo é escrever essa potência como uma soma de termos do tipo constante vezes potências de e
.
Informações dadas:
O objetivo é escrever essa potência como uma soma de termos do tipo constante vezes potências de
Passo 2
Vou apresentar o Teorema Binomial (essa é a ferramenta que vamos usar). Ele diz o seguinte:
Aqui cada símbolo significa:
é o expoente (no nosso caso
),
varia de
até
,
é o coeficiente binomial (um número que multiplica o termo),
é a potência de
e
é a potência de
.
Passo 3
Preciso explicar como obter os coeficientes
. A fórmula é:
Explicando fatoriais:
e por convenção
. Por exemplo,
.
Passo 4
Agora calculo cada coeficiente para
e
.
Passo 5
Escrevo cada termo da soma usando
e substituo os coeficientes calculados:
Para :
.
Para :
.
Para :
.
Para :
.
Para :
.
Para
Para
Para
Para
Para
Passo 6
Somando todos os termos, obtenho a expansão completa:
Passo 7
Uma checagem rápida (para ganhar confiança): coloque
e
. O lado esquerdo dá
. O lado direito tem coeficientes
, então conferiu.