Expanda (a+b)^{\wedge} 4 usando o Teorema Binomial.

Passo 1

O enunciado pede para expandir (a+b)^{4} usando o Teorema Binomial.
Informações dadas: (a+b)^{4} é uma potência de soma com expoente 4.
O objetivo é escrever essa potência como uma soma de termos do tipo constante vezes potências de a e b.

Passo 2

Vou apresentar o Teorema Binomial (essa é a ferramenta que vamos usar). Ele diz o seguinte:
(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{\,n-k}b^{\,k}
Aqui cada símbolo significa:
\,n é o expoente (no nosso caso \,n=4),
\,k varia de 0 até n,
\binom{n}{k} é o coeficiente binomial (um número que multiplica o termo),
a^{\,n-k} é a potência de a e b^{\,k} é a potência de b.

Passo 3

Preciso explicar como obter os coeficientes \binom{n}{k}. A fórmula é:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}
Explicando fatoriais: m!=m\cdot(m-1)\cdot\ldots\cdot1 e por convenção 0!=1. Por exemplo, 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1=24.

Passo 4

Agora calculo cada coeficiente para n=4 e k=0,1,2,3,4.
\binom{4}{0}=\frac{4!}{0!4!}=\frac{24}{1\cdot24}=1
\binom{4}{1}=\frac{4!}{1!3!}=\frac{24}{1\cdot6}=4
\binom{4}{2}=\frac{4!}{2!2!}=\frac{24}{2\cdot2}=6
\binom{4}{3}=\frac{4!}{3!1!}=\frac{24}{6\cdot1}=4
\binom{4}{4}=\frac{4!}{4!0!}=\frac{24}{24\cdot1}=1

Passo 5

Escrevo cada termo da soma usando \binom{4}{k}a^{4-k}b^{k} e substituo os coeficientes calculados:
Para k=0: \binom{4}{0}a^{4}b^{0}=1\cdot a^{4}\cdot1=a^{4}.
Para k=1: \binom{4}{1}a^{3}b^{1}=4a^{3}b.
Para k=2: \binom{4}{2}a^{2}b^{2}=6a^{2}b^{2}.
Para k=3: \binom{4}{3}a^{1}b^{3}=4ab^{3}.
Para k=4: \binom{4}{4}a^{0}b^{4}=1\cdot1\cdot b^{4}=b^{4}.

Passo 6

Somando todos os termos, obtenho a expansão completa:
(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}

Passo 7

Uma checagem rápida (para ganhar confiança): coloque a=1 e b=1. O lado esquerdo dá (1+1)^{4}=2^{4}=16. O lado direito tem coeficientes 1+4+6+4+1=16, então conferiu.

Resposta

(a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}

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