Expanda através de Séries de Taylor ou Taylor-Maclaurin
- Ponto
;
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente achar a expansão de Maclaurin (ou seja, a Série de Taylor em torno de 0) de
Isso é conteúdo de Séries de Taylor/Maclaurin e composição de séries. Para resolver, vamos precisar da série de
em torno de
(que a gente obtém dividindo as séries de
e
), e depois basta substituir
.
Passo 2
Primeiro, a gente lembra que
E as séries de Maclaurin para
e
são:
Supondo
a gente faz a “divisão” dessas séries para igualar
e descobrir os coeficientes
.
Passo 3
Igualando termo a termo em
[
(1 - \tfrac{u^2}{2} + \tfrac{u^4}{24} - \tfrac{u^6}{720}+\cdots)
\cdot
(a_1u + a_3u^3 + a_5u^5 + a_7u^7+\cdots)
u - \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{u^5}{120} - \tfrac{u^7}{5040} + \cdots,
]
]
a gente acha:
Logo
Passo 4
Agora é só colocar
. Aí:
E simplificando as potências: