Expanda através de Séries de Taylor ou Taylor-Maclaurin
f(x)=tan (x^2) - Ponto x=0;

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar a expansão de Maclaurin (ou seja, a Série de Taylor em torno de 0) de
f(x)=tanl(x^2r)
Isso é conteúdo de Séries de Taylor/Maclaurin e composição de séries. Para resolver, vamos precisar da série de em torno de (que a gente obtém dividindo as séries de e ), e depois basta substituir .

Passo 2

Primeiro, a gente lembra que
tan u=sin ucos u
E as séries de Maclaurin para sin u = u - u^36 + u^5120 - u^75040 + cdots, e cos u = 1 - u^22 + u^424 - u^6720 + cdots são:
tan u = a1u + a3u^3 + a5u^5 + a7u^7 + cdots,
Supondo
a gente faz a “divisão” dessas séries para igualar e descobrir os coeficientes .

Passo 3

Igualando termo a termo em
[
(1 - \tfrac{u^2}{2} + \tfrac{u^4}{24} - \tfrac{u^6}{720}+\cdots)
\cdot
(a_1u + a_3u^3 + a_5u^5 + a_7u^7+\cdots)

u - \tfrac{u^3}{6} + \tfrac{u^5}{120} - \tfrac{u^7}{5040} + \cdots,
]
a gente acha:
(1 - tfracu^22 + tfracu^424 - tfracu^6720+cdots) cdot (a1u + a3u^3 + a5u^5 + a7u^7+cdots) = u - tfracu^36 + tfracu^5120 - tfracu^75040 + cdots,
Logo
a1=1, a3=tfrac13, a5=tfrac215, a7=tfrac17315,;dots

Passo 4

Agora é só colocar tanl(x^2r) = x^2 + (x^2)^33 + 2,(x^2)^515 + 17,(x^2)^7315 + cdots . Aí:
E simplificando as potências:

Resposta

tanl(x^2r) = x^2 ;+;x^63;+;2,x^1015;+;17,x^14315+cdots

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