Expanda o binômio (2 x-3 y)^5 utilizando o Teorema do Binômio de Newton.
12 - Um caminhante aleatório se move ao longo de uma linha reta. Ele começa na posição x=0 e, a cada passo, tem uma probabilidade p=0,6 de se mover uma unidade para a direita (l=+1) e uma probabilidade q=0,4 de se mover uma unidade para a esquerda (l=-1). Após 12 passos, qual é a probabilidade de que o caminhante tenha uma diferença de m=4 passos a mais para a direita do que para a esquerda? Use a fórmula da distribuição binomial:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um caminhante que se move para a direita ou para a esquerda com certas probabilidades em cada passo. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de, após 12 passos, ele ter dado 4 passos a mais para a direita do que para a esquerda. Vamos usar a fórmula da distribuição binomial para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter 4 passos a mais para a direita. Se chamarmos o número de passos para a direita de $ r $ e para a esquerda de $ l $, sabemos que:
r
l ç

Passo 3

Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ r $ e $ l $.
Somando as duas equações:
r
Então, $ l = 12 - 8 = 4 $.

Passo 4

Agora sabemos que o caminhante deu 8 passos para a direita e 4 para a esquerda. A próxima etapa é calcular a probabilidade disso acontecer usando a fórmula da distribuição binomial, que é:
P(X = k) = binomnk cdot p^k cdot q^n-k
Onde:
  • $ n = 12 $ (número total de passos)
  • $ k = 8 $ (número de passos para a direita)
  • $ p = 0,6 $ (probabilidade de ir para a direita)
  • $ q = 0,4 $ (probabilidade de ir para a esquerda)

Passo 5

Primeiro, vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{12}{8} $:
binom128

Passo 6

Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ q^{n-k} $:
p^k
q^n-k

Passo 7

Multiplicando tudo:
P(X = 8) = 495 cdot 0,0168 cdot 0,0256 approx 0,213

Resposta

A probabilidade de que o caminhante tenha uma diferença de 4 passos a mais para a direita após 12 passos é aproximadamente 21,3%.

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