Expanda o binômio
utilizando o Teorema do Binômio de Newton.
12 - Um caminhante aleatório se move ao longo de uma linha reta. Ele começa na posição
e, a cada passo, tem uma probabilidade
de se mover uma unidade para a direita
e uma probabilidade
de se mover uma unidade para a esquerda
. Após 12 passos, qual é a probabilidade de que o caminhante tenha uma diferença de
passos a mais para a direita do que para a esquerda? Use a fórmula da distribuição binomial:
12 - Um caminhante aleatório se move ao longo de uma linha reta. Ele começa na posição
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um caminhante que se move para a direita ou para a esquerda com certas probabilidades em cada passo. Nosso objetivo é descobrir a probabilidade de, após 12 passos, ele ter dado 4 passos a mais para a direita do que para a esquerda. Vamos usar a fórmula da distribuição binomial para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ter 4 passos a mais para a direita. Se chamarmos o número de passos para a direita de $ r $ e para a esquerda de $ l $, sabemos que:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema de equações para encontrar $ r $ e $ l $.
Somando as duas equações:
Então, $ l = 12 - 8 = 4 $.
Passo 4
Agora sabemos que o caminhante deu 8 passos para a direita e 4 para a esquerda. A próxima etapa é calcular a probabilidade disso acontecer usando a fórmula da distribuição binomial, que é:
Onde:
- $ n = 12 $ (número total de passos)
- $ k = 8 $ (número de passos para a direita)
- $ p = 0,6 $ (probabilidade de ir para a direita)
- $ q = 0,4 $ (probabilidade de ir para a esquerda)
Passo 5
Primeiro, vamos calcular o coeficiente binomial $ \binom{12}{8} $:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ p^k $ e $ q^{n-k} $:
Passo 7
Multiplicando tudo:
Resposta
A probabilidade de que o caminhante tenha uma diferença de 4 passos a mais para a direita após 12 passos é aproximadamente 21,3%.