Expanda as expressões dadas, usando propriedades de produto interno.:
lang<= 4 u+v, u-2 vrang<=;

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos a expressão lang<= 4u + v, u - 2v rang<= e precisamos expandi-la usando as propriedades do produto interno. Para isso, vamos usar a linearidade do produto interno, que permite distribuir e fazer operações com os termos dentro dos parênteses.

Passo 2

Primeiro, vamos distribuir cada termo do primeiro vetor com cada termo do segundo vetor. Isso significa multiplicar cada elemento de 4u + v por cada elemento de u - 2v:
lang<= 4u + v, u - 2v rang<= = lang<= 4u, u rang<= + lang<= 4u, -2v rang<= + lang<= v, u rang<= + lang<= v, -2v rang<=

Passo 3

Agora, vamos aplicar a propriedade da linearidade em relação aos escalares. Isso nos permite tirar os números multiplicando os vetores para fora do produto interno:
lang<= 4u, u rang<= = 4 lang<= u, u rang<=
lang<= 4u, -2v rang<= = 4 times (-2) lang<= u, v rang<= = -8 lang<= u, v rang<=
lang<= v, u rang<= = lang<= u, v rang<= (pois o produto interno é comutativo) é
lang<= v, -2v rang<= = -2 lang<= v, v rang<=
Substituindo de volta na expressão:
4 lang<= u, u rang<= - 8 lang<= u, v rang<= + lang<= u, v rang<= - 2 lang<= v, v rang<=

Passo 4

Vamos simplificar os termos semelhantes:
-8 lang<= u, v rang<= + lang<= u, v rang<= = -7 lang<= u, v rang<=
Então, a expressão fica:
4 lang<= u, u rang<= - 7 lang<= u, v rang<= - 2 lang<= v, v rang<=

Resposta

lang<= 4u + v, u - 2v rang<= = 4lang<= u, u rang<= - 7lang<= u, v rang<= - 2lang<= v, v rang<=

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