Sejam r e s retas, dadas por:
r:l x=-2-2 lambda y=2 lambda, z=3-4 lambda lambda in R e s:l x=4 mu y=-6+2 mu, mu in R z=2 mu+1
© Determine o ângulo entre r e s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o ângulo entre as retas e . Vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço para isso. Precisaremos identificar os vetores diretores das retas e aplicar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas vr = -2 2 -4 e vs = 4 2 2 . Nas equações paramétricas, os coeficientes de e representam as componentes dos vetores diretores.
Para a reta :
Para a reta :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto escalar ( vr cdot vs = (-2)(4) + (2)(2) + (-4)(2) = -8 + 4 - 8 = -12 ) entre esses vetores:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular as magnitudes (comprimentos) de cada vetor:
|vr| = raiz(-2)^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz4 + 4 + 16 = raiz24 = 2raiz6
|vs| = raiz4^2 + 2^2 + 2^2 = raiz16 + 4 + 4 = raiz24 = 2raiz6

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo costheta = vr cdot vs|vr| |vs| entre dois vetores:
costheta = -12(2raiz6)(2raiz6) = -124 times 6 = -1224 = -0,5
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Para encontrar o ângulo theta = arccos(-0,5) = 120^circ , tiramos o arco cosseno de theta = 60^circ :
No entanto, como estamos falando do ângulo entre duas retas, geralmente consideramos o ângulo agudo. Portanto, o ângulo entre e é:

Resposta

O ângulo entre as retas e é de .

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