Expanda f(x)=1,0<x<2, em uma série de Fourier-Bessel, utilizando funções de Bessel da mesma ordem como indicado na condição de contorno:
J_{0}(2 \alpha)=0

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado\n
  • Pede-se expandir a função f(x)=1 definida em 0<x<2 numa série de Fourier–Bessel (ou expansão em autofunções de Bessel) usando funções de Bessel da mesma ordem, obedecendo a condição de contorno dada.\n
  • Informação da condição de contorno fornecida: J_{0}(2\alpha)=0.\n
  • Informações implícitas que usaremos (decorrentes da condição): os autovalores \alpha_n são as soluções \alpha_n que satisfazem J_{0}(2\alpha_n)=0. Denotando por j_{0,n} o n-ésimo zero positivo de J_{0}, isso significa \alpha_n = \dfrac{j_{0,n}}{2}.\n
  • Objetivo final: escrever f(x)=1 como série da forma \sum_{n=1}^{\infty} c_n J_0(\alpha_n x) válida para 0<x<2, e determinar explicitamente os coeficientes c_n.\n

Passo 2

Qual base usar e por que (descrição didática)\n
  • Em problemas com condição do tipo J_0(2\alpha)=0 sobre o intervalo radial 0<x<2, a base natural de funções é \{J_0(\alpha_n x)\}_{n\ge1} com \alpha_n tais que J_0(2\alpha_n)=0. Essas funções satisfazem a condição de contorno J_0(2\alpha_n)=0 (zeram em x=2).\n
  • Essas funções são ortogonais com peso x no intervalo [0,2]. A ortogonalidade (teorema de Sturm–Liouville para o operador radial) dá, para m\neq n,\n \int_{0}^{2} x\, J_{0}(\alpha_n x)\, J_{0}(\alpha_m x)\, dx = 0.\n
  • Para normalização (caso m=n) existe uma fórmula conhecida (vou explicá-la e usá-la):\n \int_{0}^{2} x\,[J_{0}(\alpha_n x)]^{2}\, dx = \frac{2^{2}}{2}\bigl[J_{1}(j_{0,n})\bigr]^{2} = 2\,[J_{1}(j_{0,n})]^{2},\nonde usei \alpha_n = \dfrac{j_{0,n}}{2} e a fórmula padrão (veremos a derivação rápida no próximo passo). Aqui J_1 é a função de Bessel de ordem 1 e j_{0,n} é o n-ésimo zero de J_0.\n

Passo 3

Fórmula geral para os coeficientes e explicação do que cada símbolo significa\n
  • A expansão buscada tem a forma (para 0<x<2)\n f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} c_n J_{0}(\alpha_n x),\nonde \alpha_n=\dfrac{j_{0,n}}{2}.\n
  • Os coeficientes c_n são obtidos pela fórmula de projeção usando a ortogonalidade com peso x:\n c_n = \frac{\displaystyle\int_{0}^{2} x\, f(x)\, J_{0}(\alpha_n x)\, dx}{\displaystyle\int_{0}^{2} x\,[J_{0}(\alpha_n x)]^{2}\, dx}.\n
  • Aqui: f(x)=1; a integral do numerador é a projeção de f sobre o n-ésimo modo; o denominador é a norma ao quadrado do modo com o peso x.\n

Passo 4

Cálculo do numerador \displaystyle\int_{0}^{2} x\, f(x)\, J_{0}(\alpha_n x)\, dx para f(x)=1\n
  • Substituindo f(x)=1 obtemos\n \int_{0}^{2} x\, J_{0}(\alpha_n x)\, dx.\n
  • Usamos a identidade de derivada para Bessel: \dfrac{d}{dx}\bigl(x J_{1}(\alpha x)\bigr)=\alpha x J_{0}(\alpha x). Isso é uma identidade padrão que pode ser verificada expandindo as séries de potência das funções de Bessel ou consultando fórmulas básicas.\n
  • Assim,\n \int_{0}^{2} x\, J_{0}(\alpha_n x)\, dx = \frac{1}{\alpha_n}\bigl[x J_{1}(\alpha_n x)\bigr]_{0}^{2} = \frac{2\, J_{1}(\alpha_n\cdot 2)}{\alpha_n}.\n
  • Lembrando que \alpha_n\cdot 2 = j_{0,n} (porque J_0(2\alpha_n)=0 define j_{0,n}), temos\n \int_{0}^{2} x\, J_{0}(\alpha_n x)\, dx = \frac{2\, J_{1}(j_{0,n})}{\alpha_n}.\n

Passo 5

Cálculo do denominador \displaystyle\int_{0}^{2} x\,[J_{0}(\alpha_n x)]^{2}\, dx (normalização)\n
  • Existe uma fórmula padrão para o caso \alpha_n = \dfrac{j_{0,n}}{2} (autovalores de Dirichlet):\n \int_{0}^{2} x\,[J_{0}(\alpha_n x)]^{2}\, dx = \frac{2^{2}}{2}\,[J_{1}(j_{0,n})]^{2} = 2\,[J_{1}(j_{0,n})]^{2}.\n
  • Breve justificativa da fórmula: para zeros simples j_{0,n} de J_0 com \lambda_n=j_{0,n}/a e a=2, a norma é \dfrac{a^{2}}{2}[J_{1}(j_{0,n})]^{2}. Esse resultado decorre da propriedade geral de normalização das autofunções de Bessel em problemas radiais e pode ser obtido integrando por partes a equação diferencial de Bessel e usando J_{0}(j_{0,n})=0. Aqui plugando a=2 resulta na expressão acima.\n

Passo 6

Simplificação do coeficiente c_n\n
  • Substituindo numerador e denominador na fórmula de c_n:\n c_n = \frac{\dfrac{2\, J_{1}(j_{0,n})}{\alpha_n}}{2\,[J_{1}(j_{0,n})]^{2}}.\n
  • Cancelando o fator 2 e um fator J_{1}(j_{0,n}) (assumindo zeros simples de J_0, então J_1(j_{0,n})\neq 0), obtemos\n c_n = \frac{1}{\alpha_n J_{1}(j_{0,n})}.\n
  • Lembrando \alpha_n=\dfrac{j_{0,n}}{2}, substituímos e obtemos\n c_n = \frac{1}{(j_{0,n}/2)\, J_{1}(j_{0,n})} = \frac{2}{j_{0,n}\, J_{1}(j_{0,n})}.\n
  • Portanto os coeficientes têm forma simples e explícita:\n c_n = \frac{2}{j_{0,n}\, J_{1}(j_{0,n})}.\n

Passo 7

Escrevendo a série de Fourier–Bessel final e comentários práticos\n
  • Substituindo c_n na expansão, para 0<x<2 obtemos\n f(x)=1=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{j_{0,n}\, J_{1}(j_{0,n})}\; J_{0}\!\biggl(\frac{j_{0,n}}{2}\, x\biggr).\n
  • Interpretação e dicas para a prova: os j_{0,n} são os zeros positivos de J_0. Os primeiros zeros numéricos (se precisar estimar termos) são aproximadamente\n j_{0,1}\approx 2{,}4048,\qquad j_{0,2}\approx 5{,}5201,\qquad j_{0,3}\approx 8{,}6537,\\ \ldots\n- Assim o primeiro coeficiente vale aproximadamente c_1\approx \dfrac{2}{2{,}4048\,J_{1}(2{,}4048)} (pode-se calcular numericamente se necessário). Mas na maioria das provas basta a expressão exata em termos de j_{0,n} e J_1(j_{0,n}).\n
  • Resumindo em palavras: expandimos 1 na base \{J_0(j_{0,n}x/2)\}, projetamos com peso x, usamos a identidade derivada de Bessel e a fórmula de norma para chegar aos coeficientes.\n

Resposta

1=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{j_{0,n}\, J_{1}(j_{0,n})}\; J_{0}\!\biggl(\frac{j_{0,n}}{2}\, x\biggr),\qquad 0<x<2.

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