Expanda
, em uma série de Fourier-Bessel, utilizando funções de Bessel da mesma ordem como indicado na condição de contorno:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado\n
- Pede-se expandir a função
definida em numa série de Fourier–Bessel (ou expansão em autofunções de Bessel) usando funções de Bessel da mesma ordem, obedecendo a condição de contorno dada.\n - Informação da condição de contorno fornecida:
\n - Informações implícitas que usaremos (decorrentes da condição): os autovalores
são as soluções que satisfazem . Denotando por o -ésimo zero positivo de , isso significa .\n - Objetivo final: escrever
como série da forma válida para , e determinar explicitamente os coeficientes .\n
Passo 2
Qual base usar e por que (descrição didática)\n
- Em problemas com condição do tipo
sobre o intervalo radial , a base natural de funções é com tais que . Essas funções satisfazem a condição de contorno (zeram em ).\n - Essas funções são ortogonais com peso
no intervalo . A ortogonalidade (teorema de Sturm–Liouville para o operador radial) dá, para ,\n \n - Para normalização (caso
) existe uma fórmula conhecida (vou explicá-la e usá-la):\n \nonde usei e a fórmula padrão (veremos a derivação rápida no próximo passo). Aqui é a função de Bessel de ordem e é o -ésimo zero de .\n
Passo 3
Fórmula geral para os coeficientes e explicação do que cada símbolo significa\n
- A expansão buscada tem a forma (para
)\n \nonde .\n - Os coeficientes
são obtidos pela fórmula de projeção usando a ortogonalidade com peso :\n \n - Aqui:
; a integral do numerador é a projeção de sobre o -ésimo modo; o denominador é a norma ao quadrado do modo com o peso .\n
Passo 4
Cálculo do numerador
para
\n
- Substituindo
obtemos\n \n - Usamos a identidade de derivada para Bessel:
. Isso é uma identidade padrão que pode ser verificada expandindo as séries de potência das funções de Bessel ou consultando fórmulas básicas.\n - Assim,\n
\n - Lembrando que
(porque define ), temos\n \n
Passo 5
Cálculo do denominador
(normalização)\n
- Existe uma fórmula padrão para o caso
(autovalores de Dirichlet):\n \n - Breve justificativa da fórmula: para zeros simples
de com e , a norma é . Esse resultado decorre da propriedade geral de normalização das autofunções de Bessel em problemas radiais e pode ser obtido integrando por partes a equação diferencial de Bessel e usando . Aqui plugando resulta na expressão acima.\n
Passo 6
Simplificação do coeficiente
\n
- Substituindo numerador e denominador na fórmula de
:\n \n - Cancelando o fator
e um fator (assumindo zeros simples de , então ), obtemos\n \n - Lembrando
, substituímos e obtemos\n \n - Portanto os coeficientes têm forma simples e explícita:\n
\n
Passo 7
Escrevendo a série de Fourier–Bessel final e comentários práticos\n
- Substituindo
na expansão, para obtemos\n \n - Interpretação e dicas para a prova: os
são os zeros positivos de . Os primeiros zeros numéricos (se precisar estimar termos) são aproximadamente\n \n- Assim o primeiro coeficiente vale aproximadamente (pode-se calcular numericamente se necessário). Mas na maioria das provas basta a expressão exata em termos de e .\n - Resumindo em palavras: expandimos
na base , projetamos com peso , usamos a identidade derivada de Bessel e a fórmula de norma para chegar aos coeficientes.\n