Uma particula de
tem coordenadas xy (
) e uma partícula de
tem coordenadas xy (
). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada x deve ser posicionada uma terceira partícula de
para que o centro de massa do sistema de três particulas tenha coordenadas (
)?
Passo 1
Vamos identificar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perdermos no desespero (respira, tá tudo bem — a gente resolve isso juntos).
- Partícula 1:
com coordenadas . - Partícula 2:
com coordenadas . - Partícula 3:
com coordenadas — aqui queremos encontrar (a posição em onde colocar essa partícula). - O centro de massa desejado do sistema de três partículas é
.
O que o exercício pergunta explicitamente: em que coordenada
devemos posicionar a terceira partícula (ou seja, achar
) para que o centro de massa do sistema seja o indicado.
Passo 2
Vamos aprender a ferramenta que usamos: fórmula do centro de massa (componente
). É uma média ponderada das posições, ponderada pelas massas.
A fórmula para a coordenada
do centro de massa é
onde
-
é a massa da i-ésima partícula, -
é a coordenada da i-ésima partícula, - o numerador é a soma dos produtos massa × posição em
, - o denominador é a massa total
.
Se uma das posições, por exemplo
, é a incógnita, isolamos
na equação acima. Ou seja, escrevemos a soma dos termos conhecidos e resolvemos a equação linear para
. Isso é só álgebra básica: multiplicar ambos os lados pelo denominador e isolar a incógnita.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula com os números que temos. Primeiro escrevemos a equação do centro de massa em
incluindo a partícula desconhecida:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 4
Fazendo as contas passo a passo no numerador e no denominador:
A massa total é
Então a equação fica
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Isolando
:
Passo 5
Vamos checar rapidinho (sempre bom verificar para ganhar confiança): substituímos
no numerador:
e dividindo por
dá
, que é exatamente
desejado. Beleza — resultado consistente.
Observação extra (opcional): se também quisesse saber
para cumprir o
, faria o mesmo procedimento com as coordenadas
. (Fiz essa conta se você quiser depois.)