Uma particula de 1,00 \mathrm{~kg} tem coordenadas xy ( -1,0 \mathrm{~m}, 0,5 \mathrm{~m} ) e uma partícula de 3,00 \mathrm{~kg} tem coordenadas xy ( 0,4 \mathrm{~m},-0,55 \mathrm{~m} ). Ambas estão em um plano horizontal. Em que coordenada x deve ser posicionada uma terceira partícula de 2,00 \mathrm{~kg} para que o centro de massa do sistema de três particulas tenha coordenadas ( -1,0 \mathrm{~m},-0,8 \mathrm{~m} )?

Passo 1

Vamos identificar direitinho o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perdermos no desespero (respira, tá tudo bem — a gente resolve isso juntos).
  • Partícula 1: m_1 = 1{,}00\\ \mathrm{kg} com coordenadas (x_1,y_1)=(-1{,}0\\ \mathrm{m},\;0{,}5\\ \mathrm{m}).
  • Partícula 2: m_2 = 3{,}00\\ \mathrm{kg} com coordenadas (x_2,y_2)=(0{,}4\\ \mathrm{m},\;-0{,}55\\ \mathrm{m}).
  • Partícula 3: m_3 = 2{,}00\\ \mathrm{kg} com coordenadas (x_3,y_3) — aqui queremos encontrar x_3 (a posição em x onde colocar essa partícula).
  • O centro de massa desejado do sistema de três partículas é (x_{\mathrm{cm}},y_{\mathrm{cm}})=(-1{,}0\\ \mathrm{m},\;-0{,}8\\ \mathrm{m}).
O que o exercício pergunta explicitamente: em que coordenada x devemos posicionar a terceira partícula (ou seja, achar x_3) para que o centro de massa do sistema seja o indicado.

Passo 2

Vamos aprender a ferramenta que usamos: fórmula do centro de massa (componente x). É uma média ponderada das posições, ponderada pelas massas.
A fórmula para a coordenada x do centro de massa é
x_{\mathrm{cm}}=\frac{\sum_{i} m_i x_i}{\sum_{i} m_i},
onde
  • m_i é a massa da i-ésima partícula,
  • x_i é a coordenada x da i-ésima partícula,
  • o numerador é a soma dos produtos massa × posição em x,
  • o denominador é a massa total M=\sum_i m_i.
Se uma das posições, por exemplo x_3, é a incógnita, isolamos x_3 na equação acima. Ou seja, escrevemos a soma dos termos conhecidos e resolvemos a equação linear para x_3. Isso é só álgebra básica: multiplicar ambos os lados pelo denominador e isolar a incógnita.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os números que temos. Primeiro escrevemos a equação do centro de massa em x incluindo a partícula desconhecida:
x_{\mathrm{cm}}=\frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1+m_2+m_3}.
Substituindo os valores conhecidos:
-1{,}0=\frac{1{,}00\cdot(-1{,}0)+3{,}00\cdot(0{,}4)+2{,}00\cdot x_3}{1{,}00+3{,}00+2{,}00}.

Passo 4

Fazendo as contas passo a passo no numerador e no denominador:
m_1 x_1 = 1{,}00\cdot(-1{,}0) = -1{,}0,
m_2 x_2 = 3{,}00\cdot 0{,}4 = 1{,}2,
\text{somando: } -1{,}0 + 1{,}2 = 0{,}2.
A massa total é
M = 1{,}00+3{,}00+2{,}00 = 6{,}00\\ \mathrm{kg}.
Então a equação fica
-1{,}0=\frac{0{,}2 + 2{,}00\cdot x_3}{6{,}00}.
Multiplicamos ambos os lados por 6{,}00 para eliminar o denominador:
0{,}2 + 2{,}00\cdot x_3 = -6{,}0.
Isolando x_3:
2{,}00\cdot x_3 = -6{,}0 - 0{,}2 = -6{,}2,
x_3 = \frac{-6{,}2}{2{,}00} = -3{,}1\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Vamos checar rapidinho (sempre bom verificar para ganhar confiança): substituímos x_3=-3{,}1\\ \mathrm{m} no numerador:
-1{,}0 + 1{,}2 + 2{,}00\cdot(-3{,}1) = 0{,}2 -6{,}2 = -6{,}0,
e dividindo por 6{,}00 -1{,}0, que é exatamente x_{\mathrm{cm}} desejado. Beleza — resultado consistente.
Observação extra (opcional): se também quisesse saber y_3 para cumprir o y_{\mathrm{cm}}=-0{,}8\\ \mathrm{m}, faria o mesmo procedimento com as coordenadas y. (Fiz essa conta se você quiser depois.)

Resposta

-3{,}1\\ \mathrm{m}

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