QuestĂŁo 19: Determine a ĂĄrea do parabolĂłide
, abaixo do plano
resp:
u.a
Passo 1
O enunciado pede a área da superfície do paraboloide z=2(x²+y²) abaixo do plano z=8. O conteúdo é área de superfície de uma função z=f(x,y), e vamos precisar da fórmula geral A=∬_D √(1+f_x²+f_y²) dA e usar coordenadas polares para simplificar.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de z=2(x²+y²):
Na fórmula de área temos então o fator
Passo 3
Como a região D no plano xy é aquele disco em que z≤8, ou seja 2(r²)≤8 ⇒ r²≤4 ⇒ 0≤r≤2, mudamos para coordenadas polares:
e a integral vira
Passo 4
Para resolver a integral em r faça u=1+16r² ⇒ du=32r dr, logo r dr=du/32. Assim:
Substituindo na integral em θ dá
Passo 5
Portanto chegamos ao resultado final para a área do paraboloide abaixo do plano z=8.