QuestĂŁo 19: Determine a ĂĄrea do parabolĂłide z=8, abaixo do plano pi24(65 raiz65-1) resp: u.a

Passo 1

O enunciado pede a área da superfície do paraboloide z=2(x²+y²) abaixo do plano z=8. O conteúdo é área de superfície de uma função z=f(x,y), e vamos precisar da fórmula geral A=∬_D √(1+f_x²+f_y²) dA e usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de z=2(x²+y²):
partial zpartial x=4x, partial zpartial y=4y
Na fórmula de área temos então o fator
raiz1+(4x)^2+(4y)^2= raiz1+16(x^2+y^2) .

Passo 3

Como a região D no plano xy é aquele disco em que z≤8, ou seja 2(r²)≤8 ⇒ r²≤4 ⇒ 0≤r≤2, mudamos para coordenadas polares:
dA=r,dr,dtheta
e a integral vira
A=integral0^2piintegral0^2raiz1+16r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Para resolver a integral em r faça u=1+16r² ⇒ du=32r dr, logo r dr=du/32. Assim:
integral0^2 rraiz1+16r^2,dr=132integralu(0)=1^u(2)=65u^1/2du=132cdot23l[u^3/2r]1^65=148(65^3/2-1)
Substituindo na integral em θ dá
A=integral0^2pi148(65^3/2-1)dtheta=2pi48(65raiz65-1)=pi24(65raiz65-1)

Passo 5

Portanto chegamos ao resultado final para a área do paraboloide abaixo do plano z=8.

Resposta

pi24(65raiz65-1)

Exercícios relacionados