Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
sumn=1^infty x^4 n4 n

Passo 1

Neste exercício queremos achar a soma da série S(x)=sumn=1^infty tfracx^4n4n. Trata-se de uma série de potências que converge para |x|<1 e vamos usar integração termo a termo de uma série geométrica para resolver.

Passo 2

A série geométrica clássica para |u|<1 é:
sumn=0^infty u^n = 11-u
Subtraindo o termo n=0 obtemos sumn=1^infty u^n = tfracu1-u. Para introduzir o fator 1/n, integramos termo a termo de 0 a u:
sumn=1^infty u^nn = integral0^u sumn=1^infty t^n-1 ,dt = integral0^u 11-t ,dt = -ln(1-u)

Passo 3

Agora, basta fazer u=x^4. Assim,
sumn=1^infty x^4nn = -ln(1 - x^4)
Como na série original cada termo tem 1/(4n), dividimos por 4:
S(x)=14sumn=1^infty x^4nn = -14ln(1 - x^4),
válido para |x|<1.

Resposta

-\frac{1}{4} \ln\bigl(1 - x^4)

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