Expanda f(z)=1z(z-3) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
1<|z+1|<4

Passo 1

A questão pede para expandir f(z)=1z(z-3) em série de Laurent válida para o anel 1<|z+1|<4. O conteúdo envolve mudança de variável para centralizar em z=-1, frações parciais e expansão em séries geométricas.

Passo 2

Definimos w=z+1, de modo que z=w-1. Logo
f(z)=1z(z-3)=1(w-1)(w-4)

Passo 3

Fazendo frações parciais em w, escrevemos
1(w-1)(w-4)=Aw-1+Bw-4

Passo 4

Resolvendo 1=A(w-4)+B(w-1) para todo w A=-tfrac13 e B=tfrac13. Assim
f(z)=-tfrac131w-1+tfrac131w-4

Passo 5

Para 1<|w|<4 usamos séries geométricas:
  • Para 1w-1 = 1w11-1/w=sumn=0^infty w^-n-1, pois |1/w|<1 em |w|>1.
  • Para 1w-4 = -1411-w/4=-14sumn=0^infty (w/4)^n, pois |w/4|<1 em |w|<4.

Passo 6

Substituindo essas expansões em f(z) e voltando a w=z+1 obtemos a série final.

Resposta

f(z)=-tfrac13sumn=1^infty(z+1)^-n;- frac112sumn=0^inftyl(tfracz+14r)^n, válida para 1<|z+1|<4.

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