Expanda
em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
Passo 1
A questão pede para expandir a função
numa série de Laurent válida no anel 1<|z|<2. O assunto envolve decomposição em frações parciais e uso de séries geométricas para obter termos em potências positivas e negativas de
.
Passo 2
Vamos começar decompondo
em frações parciais. Suponha que
Passo 3
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Passo 4
Igualando coeficientes de
e termos constantes:
Passo 5
Da primeira equação vem
. Substituindo na segunda:
Passo 6
Logo
Passo 7
Agora vamos expandir cada parcela conforme a região 1<|z|<2.
Passo 8
Para
, usamos a série geométrica em
, válida para |z|>1:
Passo 9
Para
, usamos a série geométrica em
, válida para |z|<2:
Passo 10
Somando as duas séries, obtemos a expansão de Laurent no anel 1<|z|<2.
Resposta
$$f(z)=-\sum_{n=1}\infty\frac{1}{zn};-
\sum_{n=0}\infty\frac{zn}{2^{n+1}}\quad(1<|z|<2).$$