Expanda f(z)=1(z-1)(z-2) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
1<|z|<2

Passo 1

A questão pede para expandir a função f(z)=1(z-1)(z-2) numa série de Laurent válida no anel 1<|z|<2. O assunto envolve decomposição em frações parciais e uso de séries geométricas para obter termos em potências positivas e negativas de z.

Passo 2

Vamos começar decompondo f(z) em frações parciais. Suponha que
1(z-1)(z-2)=Az-1+Bz-2

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (z-1)(z-2) obtemos
1=A(z-2)+B(z-1)= (A+B)z-(2A+B)

Passo 4

Igualando coeficientes de z e termos constantes:
A+B=0, -(2A+B)=1

Passo 5

Da primeira equação vem B=-A. Substituindo na segunda:
-(2A- A)=1Rightarrow -A=1Rightarrow A=-1, B=1

Passo 6

Logo
f(z)=-1z-1+1z-2

Passo 7

Agora vamos expandir cada parcela conforme a região 1<|z|<2.

Passo 8

Para -1/(z-1), usamos a série geométrica em 1/z, válida para |z|>1:
-1z-1=-1zcdot11-1z=-1zsumn=0^infty1z^n=-sumn=1^infty1z^n

Passo 9

Para 1/(z-2), usamos a série geométrica em z/2, válida para |z|<2:
1z-2=-12cdot11-z2=-12sumn=0^inftyl(z2r)^n=-sumn=0^inftyz^n2^n+1

Passo 10

Somando as duas séries, obtemos a expansão de Laurent no anel 1<|z|<2.

Resposta

$$f(z)=-\sum_{n=1}\infty\frac{1}{zn};-
\sum_{n=0}\infty\frac{zn}{2^{n+1}}\quad(1<|z|<2).$$

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