Usando derivação e integração termo a termo, calcular as somas das séries de potências:
sumn=1^infty(-1)^n-1 x^2 n-12 n-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série de potências
sumn=1^infty(-1)^n-1x^2n-12n-1
O conteúdo envolve soma de séries de potências e usaremos derivação e integração termo a termo para encontrar uma função fechada.

Passo 2

Definimos
S(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^2n-12n-1
Derivando termo a termo, obtemos
S'(x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^2n-2

Passo 3

Reindexando com m=n-1, fica
S'(x)=summ=0^infty(-1)^mx^2m=summ=0^inftyl(-x^2r)^m
Isso é uma série geométrica de razão -x^2, cuja soma é
S'(x)=11-(-x^2)=11+x^2

Passo 4

Agora integramos S'(x) de 0 até x, usando integração termo a termo invertendo a derivação feita antes:
S(x)=integral0^x11+t^2,dt=l[arctan(t)r]0^x=arctan(x)

Passo 5

Verificamos a constante de integração observando que S(0)=0, o que coincide com arctan(0)=0. Portanto, a série soma exatamente arctan(x).

Resposta

sumn=1^infty(-1)^n-1x^2n-12n-1=arctan(x)

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