A questão pede para mostrarmos que a função exponencial satisfaz a expansão em série de potências
Conteúdo e o que vamos precisar: teoria de séries de Taylor (ou Maclaurin) para funções infinitamente diferenciáveis, teste da razão para convergência e permissão de derivação termo a termo em séries de potências.
Passo 2
Vamos definir a série candidata como
e verificar três pontos: (1) intervalo de convergência, (2) que e (3) o valor inicial .
Passo 3
Aplicamos o teste da razão de Cauchy para séries de potências. Seja . Então
Como esse limite é <1 para todo x, a série converge absolutamente em R.
Passo 4
Agora derivamos termo a termo (válido dentro do raio de convergência infinito):