Verifique que
e^x=sumn=0^infty x^nn!, x in R

Passo 1

A questão pede para mostrarmos que a função exponencial satisfaz a expansão em série de potências
Conteúdo e o que vamos precisar: teoria de séries de Taylor (ou Maclaurin) para funções infinitamente diferenciáveis, teste da razão para convergência e permissão de derivação termo a termo em séries de potências.

Passo 2

Vamos definir a série candidata como
f(x)=sumn=0^inftyx^nn!
e verificar três pontos: (1) intervalo de convergência, (2) que f'(x)=f(x) e (3) o valor inicial f(0)=1.

Passo 3

Aplicamos o teste da razão de Cauchy para séries de potências. Seja an=x^nn!. Então
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty|x^n+1/(n+1)!x^n/n!| =limntoinfty|x|n+1=0
Como esse limite é <1 para todo x, a série converge absolutamente em R.

Passo 4

Agora derivamos termo a termo (válido dentro do raio de convergência infinito):
f'(x)=sumn=1^inftyn,x^n-1n! =sumn=1^inftyx^n-1(n-1)!
Fazendo a mudança k=n-1, obtemos
f'(x)=sumk=0^inftyx^kk!=f(x)
Ou seja, f' = f, característica da exponencial.

Passo 5

Avaliaremos o valor inicial para identificar a constante. Em x=0 temos
f(0)=sumn=0^infty0^nn!=0^00!+sumn=1^infty0=1
Logo a solução da equação diferencial y'=y com y(0)=1 é exatamente y=e^x.

Passo 6

Como o único solução de y'=y,;y(0)=1 é y=e^x, concluímos que
e^x=sumn=0^inftyx^nn!,
o que verifica a expansão pedida.

Resposta

e^x=sumn=0^inftyx^nn!

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