Expanda f(z)=1(z-1)(z-2) em uma série de Laurent que seja válida no domínio anelar especificado.
|z|>2

Passo 1

O enunciado pede a expansão em série de Laurent de f(z)=1(z-1)(z-2) válida para |z|>2. Vamos usar frações parciais e depois séries geométricas.

Passo 2

Decompondo em frações parciais, escrevemos 1(z-1)(z-2) = Az-1 + Bz-2. Resolvendo para A e B encontramos A=-1 e B=1, então
f(z) = -1z-1 + 1z-2

Passo 3

Para |z|>2, podemos usar a expansão geométrica
1z-a = 1z,11 - az = sumn=0^infty a^n,z^-n-1,
válida pois |a|<|z|. Aplicando a cada termo:
-1z-1 = -sumn=0^infty z^-n-1, 1z-2 = sumn=0^infty 2^n,z^-n-1

Passo 4

Somando as duas séries, obtemos
f(z) = sumn=0^infty (2^n - 1),z^-n-1,
que é a série de Laurent desejada no domínio |z|>2.

Resposta

f(z)=sumn=0^infty (2^n-1),z^-n-1, |z|>2

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