Use as séries do exercício anterior para calcular:
sumn=1^infty n^32^n

Passo 1

O exercício pede para calcular a soma da série sumn=1^infty n^32^n usando resultados já obtidos de séries de potências. O conteúdo principal aqui é séries geradoras e como, a partir da série geométrica, gerar expressões para sum n x^n, sum n^2 x^n e finalmente sum n^3 x^n.

Passo 2

Começamos pela série geométrica básica. Para |x|<1, temos
sumn=0^infty x^n = 11 - x
Se subtrairmos o termo n=0, fica
sumn=1^infty x^n = x1 - x

Passo 3

Para obter sum n x^n, diferenciamos termo a termo em relação a x:
ddxl(sumn=1^infty x^nr)= sumn=1^infty n x^n-1
e do lado direito:
ddxl(x1 - xr)= 1cdot(1 - x) - xcdot(-1)(1 - x)^2 = 1(1 - x)^2
Multiplicando por x para reindexar a potência, obtemos
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2

Passo 4

Agora derivamos novamente para achar sum n^2 x^n. Partimos de
sumn=1^infty n x^n = x(1 - x)^2
Diferenciando em relação a x:
sumn=1^infty n^2 x^n-1 = (1 - x)^2 - xcdot 2(1 - x)(-1)(1 - x)^4 = 1 + x(1 - x)^3
Multiplicando por x de novo,
sumn=1^infty n^2 x^n = x(1 + x)(1 - x)^3

Passo 5

Para chegar a sum n^3 x^n, diferenciamos mais uma vez:
sumn=1^infty n^3 x^n-1 = ddxl(x(1 + x)(1 - x)^3r)
Fazendo a derivada (uso da regra do quociente e do produto) obtém-se
sumn=1^infty n^3 x^n-1 = 1 + 4x + x^2(1 - x)^4
Multiplicando por x para ajustar os expoentes,
sumn=1^infty n^3 x^n = x(1 + 4x + x^2)(1 - x)^4

Passo 6

Agora basta avaliar em x = tfrac12. Substituindo:
x(1 + 4x + x^2) = 12l(1 + 4cdottfrac12 + (tfrac12)^2r) = 12l(1 + 2 + tfrac14r) = 12cdot 134 = 138,
(1 - x)^4 = l(1 - tfrac12r)^4 = l(tfrac12r)^4 = tfrac116
Logo,
sumn=1^infty n^32^n = 13/81/16 = 13/8 times 16 = 26

Resposta

26

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